Basis von R^3 gegeben. f lineare Abbildung mit Kroneckersymbol

Question

Aufgabe:

Sei

\( v_{1}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right) \)
eine Basis von \( \mathbb{R}^{3} \cdot f_{1}, f_{2}, f_{3}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) seien \( \mathbb{R} \)-lineare Abbildungen mit \( f_{i}\left(v_{j}\right)=\delta_{i j} \) für alle \( i, j \).

Dabei ist \( \delta_{i j} \) das Kroneckersymbol.

Berechnen Sie \( f_{i}(x) \) für alle \( i=1,2,3 \) und \( x=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \).

Answer 1

Berechne dirt erst Mal wie x durch v1,v2,v3 dargestellt wird, das
gibt mit dem Ansatz a*v1+bv2cv3= x
als Ergebnis x = (10x1-2x2-13x3)*v1 + (-5x1+x2+7x3)*v2 + (x3-x1)*v3)

f1(x) = f1( (10x1-2x2-13x3)*v1 + (-5x1+x2+7x3)*v2 + (x3-x1)*v3)  und wegen delta_ij
        =   (10x1-2x2-13x3)*1 + (-5x1+x2+7x3)*0 + (x3-x1)*0
       =  10x1-2x2-13x3

etc.

Comments

Wie kommst du auf 10x1-2x2-13x3 in der 3.Zeile???

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Wie kommt man darauf ? Verstehe es nicht

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a*v1+bv2 + cv3= xist doch ausführlich das Gleichungssystem

1*a +2*b - c = x1

-2a - 3b +5c = x2

a  +2b           = x3

und wenn du das auflöst, kommt heraus

a= 10x1-2x2-13x3

b= -5x1+x2+7x3

c= x3-x1

und dann kann man eben x durch v1,v2 und v3 darstellen.