Berechnen Sie das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von A. Ist diese Matrix diagonalisierbar?

Question

\( A:=\left(\begin{array}{ccc} 5 & -6 & -6 \\ -1 & 4 & 2 \\ 3 & -6 & -4 \end{array}\right) \)

a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von \( A \).

b) Ist diese Matrix diagonalisierbar?

Answer 1

DET([5 - k, -6, -6; -1, 4 - k, 2; 3, -6, -4 - k]) = - k^3 + 5·k^2 - 8·k + 4 = 0

- k^3 + 5·k^2 - 8·k + 4 = 0

(1 - k)·(k - 2)^2 = 0

Eigenwerte sind demnach 1 und 2. Du kannst sie diagonalisieren. Es ist hier aber nur gefragt ob sie diagonalisierbar ist. Man soll sie aber nicht diagonalisieren.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B5%2C+-6%2C+-6%7D%2C+%7B-1%2C+4%2C+2%7D%2C+%7B3%2C+-6%2C+-4%7D%7D

Damit die Matrix diagonalisierbar ist solltest du 3 linear unabhängige Eigenvektoren finden. Was meinst du. Ist das hier möglich und wenn ja warum und wenn nein warum nicht.

Comments

Da Die matrix nur 2 eigenwerte hat, hat sie nur 2 eigenvektoren und damit nicht diagonalisierbar oder?

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Ich finde hier zu einem Eigenwert 2 sicher 2 linear unabhängige Eigenvektoren.

Wenn du sagst es wäre nicht Diagonalisierbar würde Wolfram-Alpha doch oben nicht diagonalisieren können. Schau dir ruhig mal an wie die Diagonalisierung aussieht. Warum in der Diagonalmatrix plötzlich 2 mal die 2 auftritt.

Answer 2

I  (5- λ )   -6   -6    I

A=I -1       (4- λ )  2    I

I  3       -6  (-4-λ)    I   ====>  -(λ3)  +5xλ2 -8xλ +4   !

λ1  =  1   ,λ2 = 2  ,λ3 =3   

A - λ   x E =   ( 4     -6    -6   )

(-1      3     2   )

(3      -6    -5  )      !!

Comments

DNke, aber wie begründet man es, dass sie diagonalisierbar ist ?

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Annahme: Die Eigenwerte oben stimmen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalmatrix#Eigenschaften_einer_diagonalisierbaren_Matrix

Mit 3 verschiedenen Eigenwerten, hast du automatisch 3 Eigenräume der Dimension 1. Das beweist gemäss Link die Diagonalisierbarkeit.

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Es gibt aber nur 2 eigenwerte, ich hatte auch 1 und 2, wenn du die Gleichung in den Taschenrechner eingibst kommen auch tatsächlich die 2 eigenwerte raus, also deine gleichen mit -x3 +5x2-8x+4

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Aha. Folge dem Link von Mathecoach.

Der Eigenwert 2 hat einen Eigenraum der Dimension 2 und

der andere Eigenwert einen Eigenraum der Dimension 1.

Das genügt gemäss meinem Link weiter oben auch für Diagonalisierbarkeit.