Wie beweise ich diese Ungleichung mit vollständiger Induktion?

Question

ich möchte folgende Gleichung mit vollständiger Induktion beweisen. Wer weiß wie's geht?

n^n/2 ≤ n! 

Zusatz: Wie beweise ich zusätzlich noch diesen Teil:

n! ≤ nⁿ

Comments

Vollständige Induktion:
Ist A(n) für jedes n ∈ ℕ eine Aussage über die natürliche Zahl n und sind die beiden folgenden Aussagen richtig:
1) Die Aussage gilt für 1. (Induktionsanfang) --> A(1)
2) Gilt die Aussage für k, so auch für k+1. (Induktionsschluss) A(k) ⇒ A(k+1)
Dann gilt die Aussage A(n) für jede natürliche Zahl n ∈ ℕ.

Bin allerdings noch nicht auf eine Lösung gekommen.

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Der zweite Teil ist einfach mal beide Seiten als Produkt ausschreiben und die einzelnen Faktoren anstarren, da sollte einem etwas auffallen.

Aber die Induktion ist interessant...

Answer 1

Also ich habe jetzt mal eine Lösung, allerdings finde ich sie nicht so schön.

Der Induktionsanfang ist ja klar.

Der Trick im Induktionsschritt ist dabei, dass ((n+1)/n)ⁿ=(1+1/n)ⁿ→e konvergiert, und zwar von unten, das heißt (1+1/n)ⁿ<e für alle n.