Wahrscheinlichkeit unabhängige Ereignisse. Beweisen oder widerlegen Sie für 0 < P(A) < 1:

Question

Beweisen oder widerlegen Sie für 0 < P(A) < 1:

P(A ∩ B) = P(A) P(B) ⇔P(B|A) = P(B|A^c)

Comments

Welche Formeln zu bedingten Wahrscheinlichkeiten kennst du schon?

EDIT: Die Frage selbst habe ich vor ein paar Tagen schon mal gesehen. Benutze mal die Suche. Da nur Formeln dastehen vielleicht anspruchsvoller.

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Ich kenne bis jetzt:

P(B|A) := P(A ∩ B) / P(A)

Dann die Multiplikationsregel, das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit und die Formel von Bayes.

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Achtung: Das ist nur der Anfang der einen Beweisrichtung: 

Beweisrichtung " ==> "

P(B|A) = P(B|A^c) ?

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)        | nach Voraussetzung

= P(A) * P(B) / P(A) = P(B)

 P(B|A^c) = P(A^c n B) / P(A^c)        | S sei das sichere Ereignis.

= P( (S \ A) n B) / P( S \ A)      | Wenn man jetzt Unabhängigkeit auch hier hätte

= P(S\A) * P(B) / P(S \ A)

= P(B)   qed.

P( (S \ A) n B) = P(S\A) * P(B)           muss allerdings noch sauber gezeigt werden.

Es sollte aus der Voraussetzung und P(S\A) = 1 - P(A) folgen.  

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jetzt müsste ich noch die Rückrichtung zeigen? 

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Ja. Das Blaue noch und die Rückrichtung.