Stochastik: Unabhängige Ereignisse (Würfel)

Question

Es wird ein Würfel (fair) 2 mal geworfen.

\(A_k=\{\text{Die Summe beider Augenzahlen ist k}\}\)

\(B=\{\text{Die Augenzahl des ersten Würfels ist 1}\}\)

Für welche \(k \in \mathbb{N}\) sind \(A_k\) und \(B\) unabhängig?

Für Unabhängigkeit muss gelten: \(P(A_k\cap B)=P(A_k)P(B)\). \(P(B)\) müsste hier \(\frac {1}{6}\) sein, jedoch weiß ich nicht wie ich nun auf weiter vorgehen soll...

Ich wäre über Hilfe dankbar! :-)

Comments

Wegen \(P(A_{12}\cap B)=0\) und \(P(A_{12}) \cdot P(B) = \frac{1}{36}\cdot\frac{1}{6}\ne 0\) liegt für \(k=12\) keine Unabhängigkeit vor.

Answer 1

P(A7) = 6/36 = 1/6

P(B) = 1/6

P(A7 ∩ B) = 1/36

Damit ist es für k = 7 unabhängig.

Comments

Hier noch eine etwas mathematischere Herangehensweise:

Beim Probieren mehrerer Varianten stellst du fest, dass P(B) = 1/6 und P(Ak ∩ B) = 1/36 immer konstant sind.

Damit muss gelten

P(Ak) * P(B) = P(Ak ∩ B)
P(Ak) = P(Ak ∩ B) / P(B)
P(Ak) = (1/36) / (1/6) = 1/6 = 6/36

Das ist nur für k = 7 erfüllt.

Answer 2

Ich habe mal eine Tabelle angefertigt, in der du siehst, wie man eine bestimmte Zahl (Tabelleneinträge) als Summe zweier natürlicher Zahlen (Zahlen am Rand) darstellen kann.

+	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Du kannst diese Tabelle verwenden, um für jedes \(k\) die Wahrscheinlichkeit von \(A_k\) zu bestimmen. Zum Beispiel ist \(P(A_{10}) = \frac{3}{36}\).