Ganzrationale Funktion mit Parameter, Fallunterscheidung. Nullstellen.

Question

heyho,

ich bin an dieser aufgabe am zweifeln, hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen..

-2x³+(2a+1)x²-(a-1)x-a

Daraus sollte ich die Nst. berechnen und eine Fallunterscheidung durchführen.

lg

Answer 1

- 2·x^3 + (2·a + 1)·x^2 - (a - 1)·x - a = 0

Teiler von a Probieren. 1 und a sind beides Nullstellen

Polynomdivision bzw. Horner Schema und Faktorzerlegung

-(x - 1)·(x - a)·(2·x + 1) = 

Hier kann man jetzt die Nullstellen prima ablesen und auch eine Fallunterscheidung machen.

Comments

Horner Schema haben wir leider nicht in der Schule gelernt, bis jetzt nur die Polynomdivision.

D.h ich muss jetzt - 2·x³ + (2·a + 1)·x² - (a - 1)·x - a  : (x - a)    teilen, oder sehe ich das falsch

ich würde das dann insg. alles ausklammern: -2x³+2ax²+x²-ax+x-a : (x-a) nach Polynomdivision bekomme ich -2x²+x+1 raus. daraus dann Fall 1: die nst: x₁= a; x₂ = -0,5 und x₃= 1

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Genau. So bin ich auch vorgegangen.

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Okay gut, dann hab ich das schon mal verstanden.

Genauer gesagt hab ich noch Probleme bei der Fallunterscheidung, Fall 1 hab ich schon mal, hier müsste es aber genau 3 verschiedene Fälle geben wenn ich mich nicht irre, oder?

Wäre nett wenn du mir da noch helfen könntest :-)

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Was ist für a = 1 oder für a = -0.5? 

Was ist für andere Werte von a?

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das ist eben mein problem, muss ich jetzt z.B für a=1 das einfach in die Funktion einsetzen? -> 

-2x³+(2*1+1)x²-(1-1)x-1 = -2x³+3x²-1 und davon nochmal die Polynomdivision??

bei -0.5 genauso dann

Answer 2

$$f(x)= -2 \cdot x^3+(2a+1) \cdot x^2-(a-1) \cdot x-a  $$

lässt sich nicht so ohne weiteres allgemein in Linearfaktoren zerlegen bzw. Nullstellen bestimmen.

Dazu braucht es die Cardanische Formel, die heutzutage nicht mehr gelehrt wird.

Bitte prüfe, ob die Aufgabenstellung so formuliert ist, wie wir sie hier sehen.

Im besten Falle kann man einige Sonderfälle herausschälen, wenn das mit "Fallunterscheidung" gemeint ist.

Comments

Genau so steht die Aufgabe bei mir.

Cardanische Formel, noch nie gehört... 

Oben habe ich schon einen Ansatz versucht zu lösen.

danke trotzdem schon mal :-)

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Spezialfälle ergeben sich z.B. wenn man  für  a die die Werte -1/2;0;+1 verwendet.

Probier mal!

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$$f(x)= -2 \cdot x^3+(2a+1) \cdot x^2-(a-1)x-a  $$
Polynome höherer Potenzen kann man reduzieren, wenn man die Teiler des absoluten Gliedes (also da wo kein x mehr steht) als mögliche Lösungen in Betracht zieht. Hier ist das absolute Glied a. Teiler wären 1 und a, denn 1 mal a = a
also testen wir: $$ x_1=1$$$$ x_1=-1$$$$ x_1=a$$$$ x_1=-a$$
$$0= -2 \cdot 1^3+(2a+1) \cdot 1^2-(a-1)\cdot 1-a  $$ ???
$$0= -2 \cdot (-1)   ^3+(2a+1) \cdot (-1) ^2-(a-1)\cdot (-1) -a  $$ ???
$$0= -2 \cdot a^3+(2a+1) \cdot a^2-(a-1)\cdot a-a  $$ ???
$$0= -2 \cdot (-a)   ^3+(2a+1) \cdot (-a) ^2-(a-1)\cdot (-a) -a  $$ ???
wann geht's auf und wann nicht ?
Üblicherweise bringt man den Vorfaktor vor der höchsten Potenz vorher auf 1, also hier teilen wir die komplette Funktion erst durch (-2):
$$0=  x^3+\frac{2a+1}{-2} \cdot x^2-\frac{a-1}{-2}x-\frac a {-2} $$
Vorzeichenchaos aufräumen
$$0=  x^3-\frac{2a+1}{2} \cdot x^2+\frac{a-1}{2} \cdot x +\frac a {2} $$
was ein anderes absolutes Glied ergibt und zu weiteren Versuchen einlädt ...