Kurvendiskussion mit Parameter, Fallunterscheidung wie geht es?

Question

Hallöchen

Ich hätte hier ein Problem mit dieser Funktion (a-1)/3 *x^3 - ax.

Ich möchte nun die Extremas bestimmen und setze dabei die erste Ableitung also (a-1)x^2-a=0.

Dann komme ich auf +- Wurzel (a/a-1).

Nun muss ich es in die zweite Bedingung einsetzen und hier gibt es ein Problem, ich weiß nicht ob a positiv oder negativ ist. Wie funktioniert die Fallunterscheidung? Könnt ihr sie mir  an diesem Beispiel genauer und nicht so komliziert erklären :)

Bedanke mich schon im Voraus.

Comments

> ... mit dieser Funktion (a-1)/3 *x³ - ax

Das ist keine Funktion, das ist ein Term. Es gibt mindestens drei unterschiedliche Funktionen, die diesen Term als Funktionsterm haben:

• f(x) = (a-1)/3 *x³ - ax
• f(a) = (a-1)/3 *x³ - ax
• f(x,a) = (a-1)/3 *x³ - ax

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Tut mir leid ich habe das fa(x) vergessen

Answer 1

Der Term unter der Wurzel muss größer oder gleich Null sein.

a/(a-1) >=0

1.Fall:
a>=0 und
a-1>0 -->a>1

--> a>=1

2.Fall: a<=0
und
a-1<0
-->a<1

a muss kleiner als Null oder größer 1 sein

Comments

leider verstehe ich dies nicht :(

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Ein Bruch ist größer/kleiner Null, wenn Zähler und Nenner größer/kleiner Null sind.
Für a= 1 ist der Bruch nicht definiert.
Ein Bruch ist Null, wenn der Zähler Null wird.

Answer 2

Ich hätte hier ein Problem mit dieser Funktion (a-1)/3 *x³ - ax.

Ich möchte nun die Extremas bestimmen und setze dabei
die erste Ableitung also (a-1)x²-a=0.

Üblich ist es x in Abhängigkeit von a darzustellen

( a - 1 ) * x^2 = a
x^2 = a / ( a - 1 )
x = ± √ (  a / ( a - 1 ) )

Eine Wurzel kann nur gezogen werden wenn der Term in der Wurzel positiv
oder 0 ist

1. Fall
a / ( a - 1 ) = 0
Ein Bruch ist dann 0 wenn der Zähler 0 ist
a = 0
Für a = 0 ist  x = ± √ (  a / ( a - 1 ) ) = ± √ 0 = 0
x = 0

Der Funktionswert f ( 0 ) ist auch 0.

a = 0 ; ( 0 | 0 )

2. Fall
a / ( a - 1 ) > 0

a.) Zähler > 0 und Nenner > 0
a > 0 und ( a -1 ) > 0
a > 0 und a > 1
Schnittmenge
a > 1

b.) Zähler < 0 und Nenner < 0
a < 0 und ( a -1 ) < 0
a < 0 und a < 1
Schnittmenge
a < 0

Für ( a > 1 ) und ( a < 0 ) ist der Wert in der Wurzel postiv.
Es gibt 2 Lösungen

x = + √ (  a / ( a - 1 ) )
x = - √ (  a / ( a - 1 ) )

Den 3 Fall = keine Lösung will ich dir zunächst überlassen.

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

f ( x ) = (a-1)/3 *x³ - ax.

bleue Kurve a = 0
rote Kurve a = 2

~plot~ ( 0 -1)*x^3 - 0*x ; ( 2 -1 )*x^3 - 2*x ~plot~