Kurvendiskussion mit Parameter f_a(x) = -1/a · (x-2)² · (x+4) . Wie löst man das?

Question

Wie löst man diese Aufgabe?

 

Ich bräuchte Hilfe bei den Aufgaben (siehe Bild).

Aufgabe a und b sind klar, darüber muss man ja nicht diskutieren der Rest also c, d und e verlangen eine nachvollziehbare Lösung :) Wenn ihr mir dabei helfen könntet wäre ich sehr sehr dankbar.

Answer 1

c) Extrema bei x=2 und x=-2

f ' ' (x) = -6x / a       also Wendestelle bei x=0

  arithmetisches Mittel von +2 und -2 ist 0, also für die x-Werte stimmt es.

für die y-Werte entsprechend:

(-32/a  +  0 ) / 2  =   -16/a  stimmt !

Eigenschaft:   Punktsmmetrie zum Wendpunkt

d)  Steigung der Wendetangente ist f ' ( 0 ) = 12/a

12/a = 2 ⇔ a=6

e)  Gerade durch Extrema hat Steigung  ( 0 - (-32/a) ) /  (2- (-2)) = 8/a

und geht durch (2 / 0)  also Gleichung   y = 8/a * x + n

                                   0 = 8/a * 2 + n

                                     n = 16/a

                        g :  y = 8/a  *  x    +  16/a

Wendenormale hat Steigung   -a / 12   also  y = -a / 12 * x + n

durch ( 0 /    (12/a)    )  also   Y = -a / 12 * x + 12/a  

beide orthogonal hieße   (-a / 12)   *   ( 8/a )    =  -1

                          -8a /  12a   =   -1

                                -8/12   =   - 1   falsche Aussage,

also

sind sie nie orthogonal.

Answer 2

  Ich kann hierzu nur eines bemerken. Für Spickzettel, Formelsammlung und Regelheft.

  1) JEDES kubistische Polynom verläift Punkt symmetrisch gegen seinen WP . Ihr sollt das nicht vermuten, sondern lernen.
 
   " Herr Lehrer ich vermute, dass 6 X 6 = 36 ... "

  2) Damit ist auch deine Aussage c) für den Grafen JEDES kubischen Polynoms erfüllt; bitte endlich vormerken. Für die meisten ===> Steckbriefaufgaben braucht ihr es.

   Für den WP brauch ich im Übrigen keine zweite Ableitung und schon gar keinen Scharparameter. Wieder für Spickzettel und formelsammlung; den schnitzt du dir immer aus der Normalform



      x  (  w  )  =  -  1/3  a2       (  1  )



    Und a2 folgt aus dem Satz von Vieta



       a2  =  -  (  x1  +  x2  +  x3  )  =  -  (  -  4  +  2  +  2  )  =  0      (  2  )



     
   Der WP liegt bei x = 0





     (  x  |  y  )  (  w  )  =  (  0  |  -  16 / a  )      (  3a  ) 



  
    Eine Nullstelle gerader Ordnung - hier x2;3 = 2 - ist immer ein Extremum. Wenn a > 0, geht für x ===> ( + °° ) das Polynom asymptotisch gegen ( - °° ) .  Bei der Nullstelle handelt es sich um ein Maximum.
   auch das Minimum finden wir ohne Ableitung; ich sagte Spiegeln an  ( 3a )



    x  (  min  )  =  -  2  (  1  |  16 / a  )      (  3b  )  



    Standardtricks, die ihr immer wieder benötigt.
  
   " Alle kubischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie. "

   Punkt e) verlangt besonderes Interesse. Da wir uns den WP als Symmetriezentrum denken können zwischen Maximum ( Urpunkt ) Und Minimum ( Bildpunkt ) liegen bei ALLEN KUBISCHEN POLYNOMEN Maximum, Minimum und WP immer auf einer Geraden. Teoretisch ergeben sich diese drei Schnittpunkte, indem wir doese Verbindungsgerade gleich dem Polynom setzen.  Die Schnittpunkte erweisen sich als die drei Wurzeln einer kubischen Gleichung. Damit ist aber auch die Höchstzahl erschöpft; weitere Schnittpunkte mit der Kurve kann es nicht geben.
  Die Normale der Wendenormale isrt die Wendetangente. So Aufgaben liebe ich; schließlich schadet das euch, nicht mir. In der aufgabenstellung wird bewusst die edle Wahrheit verhüllt, dass die Verbindungslinie von Maximum und Minimum stets durch den WP verläuft.
 Wäre entsprechend der Frage diese Verbindungsgerade obendrein noch WendeTANGENTE , so ergäbe dieser berührpunkt eine doppelte Nullstelle, macht zusammen 4 - Widerspruch.