Sei (G,*) eine Gruppe. Beweisen Sie, dass Ord(x*y)=Ord(y*x)

Question

Sei \( ( G , * ) \) eine Gruppe. Beweisen Sie, dass \( \operatorname { Ord } ( x * y ) = \operatorname { Ord } ( y * x ) \) für alle \( x , y \in G \) gilt.

Bemerkung: Im Allgemeinen gilt \( x * y \neq y * x \).

 

Ich komme mit der Aufgabe nicht klar. Hat jemand eine Lösung?

Answer 1

Ich geb dir mal nen Tipp:

angenommen Ord(xy)=3, also (x*y)*(x*y)*(x*y)=e, aber x*y≠e und (x*y)*(x*y)≠e.

Was wäre dann, wenn jetzt          (y * x)*(y * x) =e  oder sogar y*x=e ?

Comments

Wenn Ord(x*y) = 3 also (x*y)*(x*y)*(x*y) = e, aber x*y != e und (x*y)*(x*y) != e

 

Angenommen (y*x) = e oder sogar y*x=e

Dann hätten wir nach Axiom Nummer 3 einen astreinen Widerspruch, da in einer Gruppe gilt:

 

a*b = b*a = e

wenn jetzt aber y*x = e und x*y != e, dann folgt e = y*x != x*y = e

Soweit so gut?

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na nicht ganz, was ist mit:

(x*y)*(x*y)*(x*y)=e, aber x*y≠e und (x*y)*(x*y)≠e. also Ord(x*y)=3

(y * x)*(y * x) =e und y*x≠e, also Ord(y*x)=2.

Da hast du noch keinen Widerspruch.

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Es ist ja offensichtlich, dass das alles einen Widerspruch ergibt. Soll heissen ich muss alle Widersprüche, die möglich sind aufführen? Weil di begründung ist ja immer die gleiche.

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Naja wenn dir klar ist wie es läuft, musst du das halt allgemein so aufschreiben, dass es klar wird, dass ein Widerspruch auftritt. Das heißt du sagst sei Ord(x*y)=n und Ord(y*x)=m und zeigst dann, dass falls m≠n dies auf einen Widerspruch rausläuft. Wie man dafür vorgeht kann man sich dann aus dem kleinen Beispiel oben herleiten.

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(x*y)*(x*y)*(x*y)=e, aber x*y≠e und (x*y)*(x*y)≠e. also Ord(x*y)=3

(y * x)*(y * x) =e und y*x≠e, also Ord(y*x)=2.

Ich sehe den Widerspruch nicht. Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?

Da x*y≠y*x verstehe ich nicht, wo der Widerspruch seien soll.

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e=(x*y)*(x*y)*(x*y)=x*(y*x)*(y*x)*y=x*e*e*y=x*y≠e

War das sooo schwer?