Zweite Ableitung von f(x)=ln(x)/x

Question

Aufgabe:

Gesucht ist die zweiten Ableitung von f(x)=ln(x)/x.

Laut meinem Skriptum kommt vereinfacht heraus:

(2ln(x)-3)/(x^3)

Aber ich komme nicht wirklich drauf.

Hier mein Lösungsvorschlag:

\( \frac{\frac{-1}{x} · x^{2}-(1-\ln (x)) · 2 x}{x^{4}} \)

nach Vereinfachung:

\( \frac{-x-2+2 · \ln (x)}{x^{3}} \)

Comments

Hi, Du hast falsch gekürzt: Statt \(-x\) müsste es in deinem Ergebnis \(-1\) heißen. Klammere vor der Vereinfachung im Zähler \(x\) aus und kürze dann!

Answer 1

f(x) = LN(x) / x

Quotientenregel

f'(x) = (1/x * x - LN(x) * 1) / x^2 = (1 - LN(x)) / x^2

Erneut Quotientenregel

f''(x) = (-1/x * x^2 - (1 - LN(x)) * 2x) / x^4 = (2·x·LN(x) - 3·x) / x^4 = (2·LN(x) - 3) / x^3

Comments

Die 2 Letzten Schritte leuchten mir einfach nicht ein. Also das vereinfachen.  Könntest du mir erklären wie du es vereinfacht hast bitte?

---

-1/x * x² - (1 - LN(x)) * 2x

Multiplizier mal die Klammer aus und fasse dann zusammen.

Answer 2

Oder nach der Produktregel
f ( x ) = ln ( x )  / x
f ( x ) = ln ( x )  * x^{-1}
f ´( x ) = 1/x * x^{-1} + ln ( x ) * ( -1) * x^{-2}
f ´( x ) = x^{-2} - ln ( x ) * x^{-2}
f ´( x ) = x^{-2} * ( 1 -  ln ( x ) )

f ´´( x ) = (-2)*x^{-3} * ( 1 - ln ( x ) ) + x^{-2} * (-1)*1/x
f ´´( x ) = (-2)*x^{-3} * ( 1 - ln ( x ) ) - x^{-3}
f ´´( x ) = x^{-3} * ( -2 + 2 * ln ( x ) - 1 )
f ´´( x ) = x^{-3} * ( 2 * ln ( x ) - 3 )