Bestimme die zweite Ableitung einer e-Funktion

Question

Aufgabe:

\( f(x)=3 x \cdot e^{-\frac{1}{2} x^{2}}, x \in \mathbb{R} \)
Die Funktion \( f \) hat die Ableitung
\( f^{\prime}(x)=\left(3-3 x^{2}\right) \cdot e^{-\frac{1}{2} x^{2}} \)
1) Bestimme \( f^{\prime \prime}(x) \)
2) Untersuche \( f(x) \) auf lokale Extremstellen

Problem/Ansatz:

Ich kann die erste Ableitung auf jeden Fall benutzen und muss Mit der Produkt und Kettenregel arbeiten.

Bin mir aber nicht sicher ob ich v‘ richtig ausgerechnet habe.

1) \( \left(3-3 x^{2}\right)=u \quad u^{\prime}=6 x \)
\( e^{-\frac{1}{2} x^{2}}=v \quad v^{\prime}=-\frac{1}{2} e^{-\frac{1}{2} x} \)

Comments

\( \left(3-3 x^{2}\right)=u     \quad u^{\prime}=-6 x \)  !

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Text erkannt:

De Funtrion \( f \) hat die Ableitung
\( f^{\prime}(x)=\left(3-3 x^{2}\right) \cdot e^{-\frac{1}{2} x^{2}} \)

Okay das würde dann ja so aussehen. Siehe bild

Kann ich jetzt das -x plus -6x rechnen.

Also (-7x+3-3x^2) \(\cdot e^{-\frac{1}{2} x^{2}}\)

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Nein, du musst erst noch mit \((3-x^2)\) mit (-x) multiplizieren.

\(e^{-\frac{1}{2}x^2}\cdot (-6x-3x+3x^3)\\ f''=e^{-\frac{1}{2}x^2}\cdot(-9x+3x^3)\)

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Ah danke, kam mir auch  etwas komisch vor.

Answer 1

v' = -1/2*(2x)*e^(-1/2x^2) = -x*e^(-1/2x^2)

Es gilt:

f(x) = e^(g(x)) -> f '(x)= g'(x)* f(x)

Answer 2

u'= - 6·x

v'=-x·e^(-x²/2)

Answer 3

Alternativer Weg mit der Quotientenregel:

\( \begin{array}{l} \frac{d f}{d x}=\left(3-3 x^{2}\right) \cdot e^{-\frac{1}{2} \cdot x^{2}}=\frac{3-3 x^{2}}{e^{\frac{1}{2} \cdot x^{2}}} \\ u=\left(3-3 x^{2}\right) \\ \frac{d u}{d x}=(-6 x) \\ v=\left(e^{\frac{1}{2} \cdot x^{2}}\right) \\ \frac{d v}{d x}=\left(e^{\frac{1}{2} \cdot x^{2}} \cdot x\right) \end{array} \)
Quotientenregel:
\( \frac{\frac{d u}{d x} \cdot v-u \cdot \frac{d v}{d x}}{v^{2}} \)
\( \frac{d^{2} \cdot f(x)}{d x^{2}}=\frac{-6 x \cdot\left(e^{\frac{1}{2} \cdot x^{2}}\right)-\left(3-3 x^{2}\right) \cdot\left(e^{\frac{1}{2} \cdot x^{2}} \cdot x\right)}{\left(e^{\frac{1}{2} \cdot x^{2}}\right)^{2}} \)
\( \frac{d^{2} \cdot f(x)}{d x^{2}}=\frac{(-6 x)-\left(3-3 x^{2}\right) \cdot x}{e^{\frac{1}{2} \cdot x^{2}}}=\frac{3 x^{3}-9 x}{e^{\frac{1}{2} \cdot x^{2}}} \)