Wie kann man einen Term schnell ausklammern?

Question

Wie kann man einen Term wie (x⁶ -  x⁴ + 3x² - 3) schnell überschaubarer machen? Ich weiß, dass dieser Term auch als (x² - 1) (x⁴ + 3) dargestellt werden kann. Gibt es eine allgemeine Methode, um solche langen Terme zukleinern?

Answer 1

Ja, das geht: man kann einen Term in ein Produkt seiner Linearfaktoren und gewisser irreduzibler Terme zerlegen.

Dabei haben die Linearfaktoren stets die Form (x-x₀) wobei x₀ eine Nullstelle des Polynoms ist.

Wenn man also eine Nullstelle gefunden hat, kann man mittels einer Polynomdivision das Restpolynom finden, bei dem das gleiche Verfahren erneut benutzt werden kann.

Polynomdivision ist hier im Forum relativ schwer zu demonstrieren, es funktioniert aber auch mit einem einfachen Ansatz, wie ich jetzt demonstrieren möchte:

 

Wie findet man die erste Nullstelle? Das ist schwer. Es gibt kein allgemeines Rezept, was häufig hilft ist raten.

Hier kann man durch Raten z.B. die Nullstelle 1 herausfinden: setzt man probehalber die 1 ein, ergibt sich:

1⁶-1⁴+3*1²-3 = 1-1+3-3 = 0

Das heißt, es gibt ein Restpolynom der Form (ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f), für das gilt:

(ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f)*(x-1) = 1*x⁶-1*x⁴+3*x²-3

Um jetzt die richtigen Werte für a-f herauszufinden, wird die linke Seite der Gleichung ausmultipliziert und mit der rechten verglichen:

(ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f)*(x-1) = ax⁶ - ax⁵ + bx⁵ - bx⁴ + cx⁴ - cx³ + dx³ - dx² + ex² - ex +fx - f

= ax⁶  + (b-a)x⁵+ (c-b)x⁴ + (d-c)x³ + (e-d)x² + (f-e)x - f

Da wir ja wissen, was am Ende rauskommen soll, nämlich das Ausgangspolynom, kennen wir auch die tatsächlichen Faktoren vor den Potenzen und können so ein Gleichungssystem aufstellen. Man nennt das einen Koeffizientenvergleich.

x⁶: 1 = a

x⁵: 0 = b-a  ⇒ b = a = 1

x⁴: -1 = c-b ⇒ c = b-1 = 0

x³: 0 = d-c ⇒ d = c = 0

x²: 3 = e-d ⇒ e = d+3 = 3

x: 0 = f-e ⇒ f = e = 3

1: 3 = f

Bei dem Pfeil hab ich jeweils die Information aus der Gleichung darüber mit einfließen lassen - dass am Ende für f das richtige herauskommt, zeigt uns, dass wir nichts falsch gemacht haben. Jetzt müssen wir nur noch das Restpolynom vervollständigen:
ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f = x⁵ + x⁴ + 3x + 3

Was wir damit erreicht haben: wir haben einen Faktor aus dem Polynom herausgezogen! Es gilt nämlich:

(x⁶ -  x⁴ + 3x² - 3) = (x-1)*(x⁵ + x⁴ + 3x + 3)

Das muss man jetzt so oft machen, wie das Polynom Nullstellen hat - der Rest ist irreduzibel und kann nicht vereinfacht werden.