Wie die weiteren Nullstellen schnell bestimmen?

Question

Wenn man von 3 Nullstellen 1 kennt, gibt es ein Trick die anderen schnell zu bekommen.?

Bei den Eigenwerten gibt es ja auch ein Trick, wenn man alle bis auf eins kennt, dann rechnet man ja die spur minus die 2 eigenwerten....

Answer 1

Wenn x=a eine bekannte Nullstelle von f(x) ist, rechnet man f(x)/(x-a). Und aus dem Ergebnis dann weitere Nullstellen.

Answer 2

Aloha :)

Bei einem Polynom der Form:$$x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_1x+a_0$$müssen alle ganzzahligen Nullstellen Teiler von \(a_0\) sein. Du suchst also alle ganzzahligen Teiler von \(a_0\) und probierst diese aus. Andere ganzzahlige Nullstellen kann es nicht geben.

Beispiel: \(x^3-7x+6=0\)

Die Teiler von \(6\) sind \(\pm1,\pm2\pm3,\pm6\). Wir finden Nullstellen bei \(x=2,x=-3,x=1\).

Bei der Berechnung von Eigenwerten heißt das übrigens, dass die Determinante der Matrix gleich dem Produkt aller Eigenwerte sein muss.

Answer 3

Geht es um Polynome? Fehlt nur eine Nullstelle?

Der hinterste Summand (Summand ohne x oder mit x^(0) = 1 ) entspricht dem Produkt aller Nullstellen des Polynoms (Vielfachheiten im Produkt einbeziehen, Vorzeichen der "letzten" Nullstelle noch separat kontrollieren).