Funktionsscharen Problem

Question

Ein runder Springbrunnen enthält mehrere, im Kreis um die Mitte angeordnete schräge Fontänen. Wir modellieren eine der Fontänen (für die anderen gilt wegen der Symmetrie das Gleiche) durch die Funktionsschar fc mit fc=ax^2 +(5-2a)x + (a-5). Dabei hängt der Parameter a vom Wasserdruck ab. Alle Einheiten sind Meter.

a) Wie weit von der Kreismitte (y-Achse) entfernt sprudelt die Fontäne aus dem Brunnen?

b) Welchen Winkel bilder das Rohr zur Horizontalen?

c) Der Rand des Brunnens ist 7m von der Mitte entfernt.

i) In welchem Bereich darf sich a bewegen, damit das Wasser maximal 6m von der Brunnenmitte entfernt wieder landet?

ii) Wie hoch ist die Fontäne dann?

d) Entlang welcher Kurve bewegt sich das Maximum der Fontäne, wenn man das Wasser langsam aufdreht?

Answer 1

a) fa (x) = 0 -> ax² +(5-2a)x + (a-5) = 0

Lösen mit beispielsweise mit Mitternachtsformel

x1/2 = (-b ± √(b² -4qc))/2a

Mit a = a, b = 5-2a und c = (a-5) und folgt nach Berechnung

x1 = 1 und x2 = 1 - 5/a -> x = 1 m

b) f'a (x) = 2ax + 5 - 2a

f'a(x = 1) = 2a + 5 - 2a = 5

Der Anstieg m an der Stelle 1m entspricht der Ortsableitung sowie den Tangens des Steigungswinkels α

m = f'a(x = 1) = tan(α) -> tan(α)  = 5 -> α = 78,7°

c) Maximal 6 m entfernt von Mitte: fa(x = 6) = 0 (Strahl trifft hier auf Boden auf)

i) fa(x = 6) = 36a +(5-2a)6 + (a-5) = 0 -> 36a +30 -12a + a - 5 = 0   -> a = -1 <- Dies gilt es zu diskutieren:

Für -1 < a < 0 wird die nach unten geöffnete Parabel breiter -> keine Lösung

Wegen der Parabelform (nach unten geöffnet) scheiden Lösungen aus, wo q positiv ist.

Für a ≤ -1 wird die Parabel immer schmaler und alle Parabeln haben die Nullstelle 1 -> Lösung !

ii) f_-1(x) = -x² +(5+2)x + (-1-5) = -x² + 7x - 6

Ableitung bilden: f'_-1(x) = -2x + 7

Nullsetzen: -2x + 7 = 0 -> x = 7/2  (2. Ableitung zum Checken ob Max oder Min: f'' = -2 < 0 -> Max)

X einsetzten in Gleichung: f_-1(7/2) = -(7/2)² + 7*7/2 - 6 = 25/4 -> Höhe ist 6,25 m

d) 1. Ableitung von f_-1(x) bilden

f'_-1(x) = 2ax - 2a + 5

Nullsetzen: 2ax - 2a + 5 = 0 -> x = (2a - 5)/(2a) = 1 - 5/(2a)

In f_-1(x) einsetzen:  f_-1(x =1 - 5/(2a)) = ... = -25/(4a) -> allg. Max (1 - 5/(2a), -25/(4a))

Es war beim Max x = 1 - 5/(2a)

Nach a auflösen ergibt : a = 5/(2 - 2x) in y von Max einsetzen ergibt y = 25/(4*5/(2-2x)) = .. = (5/2)*x - 5/2 = (5/2)*(x - 1)

Answer 2

a) Wie weit von der Kreismitte (y-Achse) entfernt sprudelt die Fontäne aus dem Brunnen?

Nullstelle der Funktion suchen.

b) Welchen Winkel bilder das Rohr zur Horizontalen?

Ableitung an diesr Stelle ermitteln.