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Aufgabe:

Es seien ein Körper K K , ein endlichdimensionaler K K -Vektorraum V V und K K -Untervektorräume U U und U U^{\prime} von V V mit V=U+U V=U+U^{\prime} gegeben. Ferner seien n,nN0 n, n^{\prime} \in \mathbb{N}_{0} , ein n n -Tupel (s1,,sn) \left(s_{1}, \ldots, s_{n}\right) in U U und ein n n^{\prime} -Tupel (s1,,sn) \left(s_{1}^{\prime}, \ldots, s_{n^{\prime}}^{\prime}\right) in U U^{\prime} gegeben.


Ansatz/Problem:

Wenn (s1, ... ,sn) linear abhängig in U und (s'1, ... s'n') linear abh. in U' ist, ist dann (s1, ... ,sn,s'1, ... s'n') eine Basis von V?

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1 Antwort

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Die beiden n-Tupel können doch durchaus ein gemeinsames
Element haben, ist ja keine direkte Summe.
Deshalb muss das keine Basis geben.
Avatar von 289 k 🚀

und wie sehe es aus wenn die beiden n-tupel jeweils eine Basis von U bzw. U' wären, ist dann (s1, ... ,sn,s'1, ... s'n') auch eine Basis von V?

Auch nicht, das ist nur bei einer direkten Summe so.

Nimm z.B. in R3 die Unterräume der Vektoren von der Art

U1: (a;b;0) und

U2: ( 0;x;y)

Dann ist U1 +U2 = R3 da jeder von R3 sich als Summe zweier solcher darstellen läßt.

(0;1;0)  (1;0;0) Basis von U1

(0;0;1)  (0;1;0) Basis von U2 aber die vier sind lin. abh.

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