Berechnen Sie den Grenzwert der Folgen (falls vorhanden) mithilfe der Grenzwertsätze:

Question

a.) <an>=<(n-1)²/(n²+5)>

R: Muss ich hier den Binomischen Lehrsatz anwenden?

b.) <an>=<(n-1)³/(n²+5)>

R: Muss ich hier den Binomischen Lehrsatz anwenden?

c.) <an>=<(2n³-1)/(3n^5+n²)>

R: [(2n³/n^5)-(1/n^5)]/[(3n^5)+(n²/n^5)]

=(2/n²)-0))/(3n^5)+0

=(2/n²)/(3n^5)

=0/.....

=0

Die Folge konvergiert gegen den Grenzwert 0.

d.) <an>=<(2n^3-1)/(3n^3+n²)>

R: [(2n³-1))/(3n^3+n²)]

=[(2n³/n³)-(1/n³)]/[(3n³/n³)+(n²/n³)

=(2-0)/(3+0=

=2/3

Die Folge konvergiert gegen den Grenzwert 2/3.

e.) <an>=<(n^6-7n^4-1)/(n^5-10)>

R: [(n^6-7n^4-1))/(n^5-10)]

=[(n^6/n^5)-(7n^4/n^5)-(1/n^5)]/[(n^5)/n^5))-10]

=[n-(7/n)-0]/[-10]

Die Folge divergent weil sich kein Grenzwert berechnen lässt.

f.) <an>=<(2^n-1)/(2^n+1)>

R: [(2^n-1))/(2^n+1)]

=[(2^n/1^n)-(1/1^n)]/[(2^n/1^n)+(1/1^n)

=[(1^n)-0]/(1^n+0)]

=1^n/1^n

=1

Schreibe ich für n auch 1^n?

Oder kann ich das substituieren mit n=1^n, wie ich es gemacht habe?

Die Folge konvergiert gegen den Grenzwert 1.

g.) <an>=<(2-(1/10)^n>

R: [(2/1^n)-((1/1^n)-(10/1^n))

=2

Die Folge konvergiert gegen den Grenzwert 2.

.

Answer 1

a.) <an>=<(n-1)²/(n²+5)>

R: Muss ich hier den Binomischen Lehrsatz anwenden?binomi.Formel!

( n^2 - 2n + 1 ) / ( n^2 + 5 )   dann mit n^2 kürzen

(1 - 2/n - 1/n^2 ) / (  1 + 5/n^2 ) also GW  (1+0+0)/ (1+0)  = 1

b.) <an>=<(n-1)³/(n²+5)>

R: Muss ich hier den Binomischen Lehrsatz anwenden? Ja

(n^3 - 3n^2 + 3n - 1 )  /  ( n^2 + 5 )    mit n^2 kürzen

( n - 3 + 3/n - 1) / ( 1 + 5/n )   geht gegen + unendlich

c.) <an>=<(2n³-1)/(3n⁵+n²)>

R: [(2n³/n⁵)-(1/n⁵)]/[(3n⁵)+(n²/n⁵)]

=(0-0)/(3+0)

=0/3

=0

Die Folge konvergiert gegen den Grenzwert 0.

e.) <an>=<(n⁶-7n⁴-1)/(n⁵-10)>

R: [(n⁶-7n⁴-1))/(n⁵-10)]

=[(n⁶/n⁵)-(7n⁴/n⁵)-(1/n⁵)]/[(n⁵)/n⁵))-10]

=[n-(7/n)-0]/[-10]

Die Folge divergent weil sich kein Grenzwert berechnen lässt.
oder geht gegen + unendlich

f.) <an>=<(2ⁿ-1)/(2ⁿ+1)>

R: [(2ⁿ-1))/(2ⁿ+1)]                    1^n = 1das bringt nichts

=[(2ⁿ/2ⁿ)-(1/2ⁿ)]/[(2ⁿ/2ⁿ)+(1/2ⁿ)

=[(1-0]/(1+0)]

=1 /1

=1

Die Folge konvergiert gegen den Grenzwert 1.

g.) <an>=<(2-(1/10)ⁿ>   Klammer zuviel etwa so ?   <2-(1/10)ⁿ>

R:    (1/10)^n geht gegen 0, da geom. Folge mit |q| < 1

also GW = 2 - 0 = 2

Answer 2

a.) an = (n - 1)^2/(n^2 + 5) = (n^2 - 2·n + 1)/(n^2 + 5)

lim n-->∞ an = 1

b.) an = (n - 1)^3/(n^2 + 5) = (n^3 - 3·n^2 + 3·n - 1)/(n^2 + 5)

lim n-->∞ an = ∞

c.) an = (2·n^3 - 1)/(3·n^5 + n^2)

lim n-->∞ an = 0

d.) an = (2·n^3 - 1)/(3·n^3 + n^2)

lim n-->∞ an = 2/3

e.) an = (n^6 - 7·n^4 - 1)/(n^5 - 10)

lim n-->∞ an = ∞

f.) an = (2^n - 1)/(2^n + 1) 

lim n-->∞ (2^n - 1)/(2^n + 1) = lim m-->∞ (m - 1)/(m + 1) = 1

g.) an = 2 - (1/10)^n

lim n-->∞ an = 2