Grenzwerte von Folgen/Funktionen

Question

wir beschäftigen uns jetzt schon länger mit dem Thema Grenzwerte von Folgen und Funktionen. Ich komme jedoch einfach nicht genau dahinter was ein Grenzwert eigentlich ist und wie genau ich damit rechne... Und was ist der Unterschied zwischen den beiden? Kann es mir jemand möglichs einfach erklären? Noch eine kleine Zusatzfrage zum Thema, wie definiert man ob ein Grenzwert konvergiert oder divergiert? Mfg

Answer 1

Eine Folge ist erstmal nur eine Aneinanderreihung von Zahlen oder anderen Elementen.

Eine Folge ist z.B:

2, 4, 8, 16, ...

oder

0, 3, 6, 9, 12, ...

oder auch

1, 0, 1, 0, 1, 0, ...

 

Man kann Folgen aber auch dadurch beschreiben, dass man ein allgemeines Bildungsgesetz angibt. In der ersten Folge oben wäre das z.B.

a_n = 2ⁿ

Um z.B. das 4. Folgenglied herauszufinden, muss für n eine 4 eingesetzt werden, das ergibt:

a₄ = 2⁴ = 16

 

Weitere Beispiele:

b_n = n+2

c_n = n² - 3ⁿ

d_n = (3ⁿ + 1)/(4ⁿ-1)

Nun gibt es Folgen, die sich immer näher an eine bestimmte Zahl annähern. Nimm z.B. die Folge:

1, 1/2, 1/4, 1/8, ...

Du erhältst ein neues Element immer, indem du das letzte durch 2 teilst.

Der Grenzwert der Folge ist 0, denn auch wenn die 0 niemals erreicht wird, der Abstand der Folgenglieder zur 0 wird immer kleiner.

Solche Folgen nennt man konvergent und die Zahl, der sie sich annähern nennt man den "Grenzwert der Folge für n gegen Unendlich" oder einfach nur den "Grenzwert der Folge".

 

Nun gibt es nur drei Arten von Folgen: einmal die konvergenten Folgen mit einem Grenzwert.

Dann die Folgen, die immer größer oder immer kleiner werden also gegen ∞ oder -∞ gehen. Ich habe zwei Beispiele dafür: die Folge (b_n) geht gegen ∞, die Folge c_n geht gegen -∞. Solche Folgen nennt man divergent.

Dann gibt es noch nicht konvergente Folgen. Ein Beispiel dafür ist die dritte Folge von oben,

1, 0, 1, 0, 1, ...

sie wechselt immer zwischen 1 und 0 nähert sich aber keiner der beiden Zahlen immer näher an.