In dieser Aufgabe zeigen wir unter der Annahme, dass es einen Körper mit vier Elementen gibt, dass dessen Additions- und Multiplikationstafel eindeutig bestimmt sind.
Sei \(K\) ein Körper mit vier Elementen. Die neutralen Elemente bzgl. Addition und Multiplikation sind dann voneinander verschieden und wir können sie mit 0 und 1 bezeichnen. Die beiden verbleibenden Elementen bezeichnen wir mit \(κ\) und \(τ\).
1) Zeigen Sie, dass dadurch bereits folgende zwölf Einträge der Multiplikationstafel bestimmt sind:
2) Zeigen Sie, dass die verbleibenden vier Einträge der Multiplikationstafel
lauten müssen (Tipp: Kürzungsregel für
(K*,·)).
3) Zeigen Sie, dass folgende sieben Einträge der Additionstafel bereits feststehen: