Integration von (e^{3x}-cos(x))*e^{-3x}

Question

Ich möchte diese Funktion integrieren:

$$ ({ e }^{ 3x }-cos(x))*{ e }^{ -3x } $$

Ich komme aktuell auf:

u = e^{3x} -cos(x) --> u' = 3e^{3x} + sin(x)

v' = e^{-3x} ---> v = -(e^{-3})/3

kann mir vielleicht jemand bei der Integration weiterhelfen ?

Danke sehr !

Answer 1

ich  würde den Integrand ausmultiplizieren, dann kommst Du auf

int( 1 -e^{-3x} cos(x)) dx und spaltest das Ganze in 2 Teilintegrale auf.

Du mußt dann das 2. Integral 2 Mal partiell integrieren und dann einen kleinen Trick machen,

damit Du nicht in die Unendlichkeitsschleife kommst.

Comments

Danke für deine Antwort, wie sollte das denn genau funktionieren, also für 1-e^{-3x} und für -3^{-3x}*cos(x)

Oder wie ist das gemeint ?

---

Hallo

zuerst multipliziere die Klammer doch  aus. Du kommst doch nur auf 1 -e^-3x cos(x).

Answer 2

Ich lasse das mal von Wolfram Alpha machen

Comments

Ah danke, das hilft mir schon weiter.  Mir ist nur noch der Schritt mit dem 1/10 unklar, wie man darauf kommt, den Rest habe ich in ähnlicher Form :-)

---

In der e-Funktion ist die -3 und in der cos-Funktion ist die 1 als Koeffizient.

also hat mal (-3)^2 + 1^2 = 10. Daher kommen die 10.

---

Okay ich hab mir das ein bisschen anders gemacht, sagt bitte bescheid, wenn Fehler vorhanden sind:

$$ \int { ({ e }^{ 3x }-cos(x))*{ e }^{ -3x } }  $$

Partielle Integration:

$$ u={ e }^{ 3x }-cos(x)\quad \quad u'={ 3e }^{ 3x }+sin(x) $$

$$ v'={ e }^{ 3x }\quad \quad v=-\frac { { e }^{ -3x } }{ 3 }  $$

$$ F(x)=({ e }^{ 3x }-cos(x))*(-\frac { e^{ -3x } }{ 3 } )-\int { ({ 3e }^{ 3x }+sin(x))* } (-\frac { e^{ -3x } }{ 3 } )\quad dx $$

---

Das sieht soweit ganz gut aus. Dummerweise hast du ja jetzt wieder ein Integral was du vereinfachen musst und erneut mit partieller Integration bearbeiten musst.

---

Perfekt, aber mit einer erneuten Integration (Wieder Partiell) müsste es eigentlich klappen oder?

---

Ja. Man kommt dann wieder auf das urspüngliche Integral und zaubert dann ein Phönix aus der Asche.

Wolfram Alpha hat da ja allgemein eine Formel verwendet. Wenn man ein fleißiger Schüler ist, könnte man sich die Formel also auch einmal allgemein herleiten um sie dann besser zu verstehen und anwenden zu können.

So würde ich das zumindest immer machen.