Partielle Integration e^x cos^2(x) dx

Question

Kann mir vielleicht jemand mit dem Lösungsweg dieser Aufgabe helfen?

Partielle Integration:

Integral e^x cos^2(x) dx

Answer 1

Den Rechenweg kannst Du mit diesem Link sehen, Du mußt nur die Aufgabe eingeben.

http://www.integralrechner.de/

Answer 2

∫ e^xcos²(x) dx  

=   e^x *cos^2(x)   + ∫ e^x * 2*cos(x) * sin(x) dx

=     e^x *cos^2(x)    +   e^x * 2*cos(x) * sin(x)   -  ∫ e^x * (4cos²(x)- 2 )   dx

=      e^x *cos^2(x)   +  e^x * 2*cos(x) * sin(x)   - 4 ∫ e^x *cos²(x) dx     + 2 ∫ e^x dx

=      e^x *cos^2(x)   +  e^x * 2*cos(x) * sin(x)   - 4 ∫ e^x *cos²(x)  dx    + 2  e^x

Integral nach rechts :

 5 *∫ e^xcos²(x) dx   =      e^x *cos^2(x)   +  e^x * 2*cos(x) * sin(x)      + 2  e^x

dann alles durch 5.
∫ e^xcos²(x) dx   = (   e^x *cos^2(x)   +  e^x * 2*cos(x) * sin(x)      + 2  e^x   ) / 5

Answer 3

∫ e^x·COS(x)^2 dx

Benutze: COS(x)^2 = 1/2·(COS(2·x) + 1)

∫ e^x·1/2·(COS(2·x) + 1) dx

∫ (1/2·e^x·COS(2·x) + 1/2·e^x) dx

∫ 1/2·e^x·COS(2·x) dx + ∫ 1/2·e^x dx

Wir kümmern uns um den ersten Summanden

∫ 1/2·e^x·COS(2·x) dx = 1/2·e^x·COS(2·x) - ∫ - e^x·SIN(2·x) dx

∫ 1/2·e^x·COS(2·x) dx = 1/2·e^x·COS(2·x) + ∫ e^x·SIN(2·x) dx

∫ 1/2·e^x·COS(2·x) dx = 1/2·e^x·COS(2·x) + e^x·SIN(2·x) - ∫ 2·e^x·COS(2·x) dx

5/2·∫ e^x·COS(2·x) dx = 1/2·e^x·COS(2·x) + e^x·SIN(2·x)

∫ 1/2·e^x·COS(2·x) dx = 1/10·e^x·COS(2·x) + 1/5·e^x·SIN(2·x)

Zurück zum eigentlichen Integral

∫ 1/2·e^x·COS(2·x) dx + ∫ 1/2·e^x dx

1/10·e^x·COS(2·x) + 1/5·e^x·SIN(2·x) + 1/2·e^x

1/10·e^x·(COS(2·x) + 2·SIN(2·x) + 5)