Exponentieller Zerfall: Farbstoffabbau in einem gesunden Organ 4% pro Min. Lösen mit f(t)=f(0)•e^{kt}

Question

Aufgabenstellung: Zur Untersuchung eines Organs werdem dem Patienten 59mg eines Farbstoffes gespritzt. Der gesunde Körper baut pro Minute 4% des Monatsbestandes ab. Ist der Patient gesund, wenn nach 20 Minuten noch 30mg Farbstoff im Blut sind?

Bitte mit der Funktionsgleichung lösen: f(t)=f(0)•e^kt

Answer 1

Aufgabenstellung: Zur Untersuchung eines Organs werdem dem Patienten 59mg eines Farbstoffes gespritzt. Der gesunde Körper baut pro Minute 4% des Monatsbestandes ab. Ist der Patient gesund, wenn nach 20 Minuten noch 30mg Farbstoff im Blut sind?

Bitte mit der Funktionsgleichung lösen: f(t)=f(0)•e^{kt}

f(0) = 59

Bei gesunden Patienten wäre f(t) = f(0) * 0.96^t

Also f(20) = 59*0.96^20 = 26.078mg

Gemessen wurde aber

f(20) = 30. D.h. der Stoff wurde weniger stark abgebaut als bei gesunden Patienten. Das Organ wäre also nicht gesund.

Offenbar musst du 0.96^t durch e^{kt} darstellen.

Das ist etwas umständlicher.

e^{kt} = (e^k)^t = 0.96^t           |hoch t weglassen

e^k = 0.96         |ln

k = ln(0.96) = -0.040822

f(t) = 59 * e^ ((-0.040822)t)

und jetzt für t 20 einsetzen.

f(20) = 26.078mg

Answer 2

f(x) = 59 * 0.96^x

Folgende Umformung nur wenn Du es unbedingt in Deiner Form haben willst:

f(x) = 59 * e^{x * ln 0.96} = 59 * e^{-0.04082x}

f(20) = 59 * 0.96^20 = 26.08

Wenn nach 20 Minuten noch 30 mg im Blut sind ist der Körper vermutlich krank.

Comments

f(x) = 59 * e^{x * ln 0.96} = e^-0.04082x

Bist Du Dir sicher, dass das stimmt?

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Ich glaub da war eine Zahl verloren gegangen.

Answer 3

f(0) = 59 mg

Nach 1 Minute sollten bereits 4 % abgebaut sein also f(1) = 59 * ( 1- 0.04 ) = 59 * e^{k*1}.

59 * e^{ k*1} = 59 * 0.96

e^k = 0.96

k = ln(0.96)

f(20) = 59 * e^{ln(0.96)*20} = 26.08.

Beim gesunden Patienten sollten nur noch 26.08 mg Farbstoff im Blut vorhanden sein. Vorhanden sind aber 30 mg.

mfg Georg

Comments

Achtung die 20 sollte auch noch im Exponenten stehen.

f(20) = 59 * e^ln(0.96)*20 = 26.08

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Richtig Lu, ich habe eine Klammer vergessen. mfg Georg

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Daas Problem ist, dass die Caret-Notation ^ hier automatisch bei einer schliessenden Klammer den Exponenten abschliesst.

Wenn du einen Leerschlag nach dem ^ eingibst, werden Klammern nicht wegformatiert. Dafür ist der Exponent nicht hochgestellt. Klammern vorher und nachher setzen, damit's eindeutig ist.