Exponentieller zerfall textaufgaben

Question

Aufgabe:

Textaufgaben zu exponentiellen Prozessen
Aufgabe 1:
Radioaktives Plutonium ist hochgefährlich. Es zerfällt
schnell. Pro Stunde zerfallen 13% der jeweils
Substanzmenge. Die Ausgang:smenge betrage 100 mg.
a) Erkläre, warum die Zerfallsfunktion für eine Stunde durch die folgende Gleichung
beschrieben werden kann:
f(t) = 100 •0,87*
b) Bestimme annähernd, wann nur noch 1 mg vorhanden ist.
c) Gib die Halbwertszeit an.
Aufgabe 2:
1. Der WWF hat herausgefunden, dass derzeit 20 000
Eisbären (Stand 2017) am Nordpol leben. Durch
Statistiken aus den letzten Jahren kam heraus, dass
die Menge etwa um 1% pro Jahr abnimmt.
a) Bestimme eine passende Funktionsgleichung der Form
f(x) = a •q*.
b) Gib an, wie viel Eisbären in den Jahren 2018 und 2019 zu erwarten sind.
) Berechne, wann nur noch 15 000 Eisbären vorhanden sind nach dieser Prognose.
d) Gib die Halbwertszeit a
Aufgabe 3:
Die gefürchtete Influenza unterscheidet sich vom relativ harmlosen
grippalen Effekt durch schlagartigen Beginn mit 40°C Fieber und
schwerem Krankheitsgefühl. Der Erreger kann sich nämlich in den
Atemwegen aufgrund einer raffinierten Strategie explosionsartig
verbreiten. Innerhalb von 6 Stunden entwickeln sich aus einem Virus 1500
Viren.
neue
a) Gib eine Funktionsgleichung an, wenn zu Beginn 100 Viren vorhanden sind.
b) Berechne, wie viele Viren nach 1 Tag vorhanden sind.
c) Berechne, wann im Körper mehr als 1 Milliarde Viren sind,
d) Berechne die Verdopplungszeit

Problem/Ansatz: ich habe bei der Aufgabe 1 b 100•0,87^33=1.01 raus bekommen und bei c 100•0,87^5 =49,84 aber weiss nicht ob das richtig ist. Bei dem Rest bräuchte ich hilfe

Answer 1

N(t)=No*a^(t)

No=100 mg Anfangswert zum Zeitpunkt t=0  → N(t)=No*a⁰=No*1=No

N(1)=No-No/100%*13%=No*(1-13%/100%)=No*0,87

a=1-p/100%  → exponentielle Abnahme

N(t)=1 mg=100 mg*0,87^(t)

1/100=0,01=0,87^(t)  logarithmiert

ln(0,01)=ln(0,87^(t))=t*ln(0,87)  Logarithmengesetz log(a^(x))=x*log(a)

t=ln(0,01)/ln(0,87)=33,068 Stunden deine Rechnung stimmt

kannst auch den Logarithmus mit der Basis 10 nehmen

t=log(0,01)/log(0,87)=33,068 Std

c) Halbwertszeit T → hälfte ist zerfallen N(T)=No/2

N(T)=50 mg=100 mg*0,87^(T)

50/100=0,5=0,87^(T)

T=ln(0,5)/ln(0,87)=4,977..Std=5 Std

Probe: N(5)=100 mg*0,87^5=49,84 mg=50 mg bis auf Rundungsfehler

Die anderen Aufgaben gehen genau so

1)  Eisbären No=20.000  prozentuale Abnahme pro Jahr p=1%  → a=1-1%/100%=0,99

N(t)=20.000 *0,99^(t)   

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Text erkannt:

Siehe Mathe-Forme1buch,was man privat in jedem Buchladen bekommt. Formel: \( y=f(x)=a^{x} \) mit a \( \varepsilon P \) und \( a>0 \) und a unGleich \( 1 \times \varepsilon P \) \( f(x+1)=f(x) *_{a} \)
Mit \( e^{x *} \ln (a)=a^{x} \) kann \( y=f(x)=a^{x} \) durch Streckung/Stauchung mit \( 1 n(a \)
aus der e-Funktion gewonnen werden. Durchläuft in \( f(x)=c^{*} a^{x}(c \neq 0 \) und \( a>0 \) und \( a \neq 1) \) das Argument eine "arithmetische Folge", so durchläuft der Funktionswert \( f(x) \) eine "geometrische Folge". Die "Exponentialfunktion" kommt in folgender Form vor:
1) \( N(t)= \) No* a \( t \) No=Anfangswertrzum Zeitpunkt \( t=0 N(0)=\mathbb{N}_{0} *_{a}^{0}=N_{0} * 1 \)
\( 0<a<1 \) exponentielle Abnanme
2) \( N(t)=N_{0} \neq_{e}^{-b^{*} t} \) Formel für den radioaktiven zerfal1 No=zerfallsfähige Atonkerne zum Zeitpunkt t=0 (Anfangswert) b=Zerfaliskonstante,abhăngig vom Materia1 TeHalbwertszeit, hier sind von No die Hälfte aller zerfallsfähigen Atomkerne zerfallen. \( N(T)=N o / 2 \)
daraus errechnet sich die "Zerfallskonstante" b \( \mathrm{N}(\mathrm{T})=\mathrm{N}_{0} / 2=\mathrm{N}_{0} * \mathrm{e}^{-\mathrm{b} * \mathrm{~T}} \)
\( 1 / 2=\mathrm{e}^{-\mathrm{b}^{*} \mathrm{~T}} \) logarithmiert ergibt \( \ln (0,5)=-\mathrm{b}^{*} \mathrm{~T} \) ergibt \( \mathrm{b}=1 \mathrm{n}(0,5) / \mathrm{-T} \)
"exponentielle Zunahme", Zinsrechnung Ein Kapital von Ko wird im Jahr mit einen Zinssatz von p verzinst. nach 1 Jahr \( \mathrm{K}(1)=\mathrm{K}_{0}+\mathrm{K}_{0} / 100 \mathrm{~T} *_{\mathrm{p}}=\mathrm{K}_{0} *(1+\mathrm{p} / 100 \mathrm{~T}) \)
\( a=(1+p / 100 z) \) ergibt die Forme1
\( \mathrm{K}(\mathrm{t})=\mathrm{K}_{0} *(1+\mathrm{p} / 100 \mathrm{z})^{\mathrm{t}} \)
"exponetielle Abnahme" Die jahrliche Inflation beträgt p (in Prozent) und das Anfangskapital Ko nach 1 Jahr \( \mathrm{K}(1)=\mathrm{K}_{0}-\mathrm{K}_{0} / 100 \mathrm{~g}^{*} \mathrm{p}=\mathbb{K}_{0} *(1-\mathrm{p} / 100 \mathrm{~T}) \)
\( a=(1-p / 100 z) \)
\( \mathrm{K}(\mathrm{t})=\mathrm{X}_{0} *(1-\mathrm{p} / 100 \mathrm{~g})^{\mathrm{t}} \)

 ~plot~100*0,87^x;[[-1|35|-1|110]];x=5;x=33,068~plot~

Answer 2

Hallo

b und c sind im Prinzip richtig, aber eigentlich musst du sagen, dass die 2mg nach 33 Stunden erreicht sind und die HWZ ungefähr 5 Stunden ist.

hallo Begründung_ 13% Verlust pro Stunde heisst noch jeweils einer Stund sin nur noch 87% also 0,87 *100mg vprhanden mach t Stunden dann 100mg*0,87^t/h  (h für die Einheit Stunden.

deshalb auch in  E(t)= E(0)*0,99^t/y (y führ Jahr) t=0 in 2017 E(0)=20.000

den Rest kannst du, da du ja 1) b,c konntest.

3. V(t)=V(0)*1500t/6h oder V(0)(15001/6)^t=V(0)*3,38^t/h

dann 1 Tag =24h

den Rest wieder wie in 1 rechnen.

Gruß  lul