Exponentieller Zerfall Narkose-Medikament mit Halbwertszeit 40 Min.

Question

Bei einer Operation wird für die Narkose ein Medikament verwendet, welches mit einer HWZ von 40 Min. abgebaut wird.

a) Die Restmenge ist nach 1 min. noch wirksam

b) Wie viel % zerfällt pro Minute ? Wie viel % der ursprünglichen Menge ist nach 10 min noch übrig ?

c) Ein Patient erhält zuerst 2 mg des Medikamentes, danach zweimal im Abstand von je einer Stunde je 1 mg. Welche   Menge ist nach der letzten Verabreichung im Körper des Patienten ?

d) Der Patient wacht auf, wenn weniger als 0,5 mg des Medikamentes im Körper wirksam sind ? Wie lange nach der letzten Verabreichung wird dies der Fall sein?

Idee:  HWZ (2):40  = 0,01732868  aber wie tue ich weiter ?

Vielen Dank vorweg ?

Answer 1

Nimm als Ansatz folgende exponentielle Funktion:

B ( t ) = B ( 0 ) * e ^{- λ t}

mit

t : Zeit in Minuten

B ( 0 ) : Bestand zum Zeitpunkt t = 0 ("Anfangsbestand")

B ( t ) : Bestand zum Zeitpunkt t

λ : Zerfallskonstante 

Zunächst ist aus dem Ansatz die konkrete Zerfallsfunktion B ( t ) des Medikaments zu bestimmen, insbesondere also der Wert der Zerfallskonstanten λ. Dazu verwendet man die Halbwertszeit.
Eine Halbwertszeit von t = 40 Minuten bedeutet:

B ( 40 ) = ( 1 / 2 ) * B ( 0 )

Setzt man dies in den Ansatz ein, erhält man:

( 1 / 2 ) * B ( 0 ) = B ( 0 ) * e ^{- λ * 40}

<=> ( 1 / 2 ) = e ^{- λ * 40}

<=> ln ( 1 / 2 ) = - λ * 40

[ ln ( 1 / 2 ) = - ln ( 2 ), also:]

<=> - ln ( 2 ) = - λ * 40

<=> λ = ln ( 2 ) / 40

Die konkrete Zerfallsfunktion lautet also:

B ( t ) = B ( 0 ) * e ^{- ( ln ( 2 ) / 40 ) * t} 

Mit Hilfe dieser Funktion kann man nun die Fragen beantworten.

 

a) Diesen Satz verstehe ich nicht. Fehlt da noch was (z.B. die Frage /Aufgabe) ?

b) Der prozentuale Zerfall P je Zeiteinheit lässt sich mit Hilfe der Funktion B ( t ) so ausdrücken:

P = ( B ( t ) - ( B ( t + 1 ) ) / B ( t ) )

(Zerfallen ist ja die zum Zeitpunkt t vorhandene Menge B ( t ) abzüglich der zum Zeitpunkt t+1 noch vorhandenen Menge B ( t + 1 ). Grundwert für die prozentuale Berechnung ist die zum Zeitpunkt t vorhandene Menge B ( t ). )

= 1 - ( B ( t + 1 ) / B ( t ) )

Setzt man hier den oben bestimmten Funktionsterm für  B ( t ) ein, erhält man:

P = 1 - ( B ( 0 ) * e ^{- λ * ( t + 1 )} ) / ( B ( 0 ) * e  ^{- λ* t} )

[Der Nenner des Bruches kürzt sich vollständig heraus. Es verbleibt:]

= 1 - e ^{- λ}

= 1 - e ^{- ( ln ( 2 ) / 40 )}

= 0,01718 (gerundet)

= 1,718 %

Wie man sieht, hängt der prozentuale Zerfall P nicht von der Zeit t ab. Er ist also zu jedem Zeitpunkt t konstant (das ist ein Charakteristikum des exponentiellen Zerfalls). Daher hätte man zur Berechnung des prozentualen Zerfalls einen beliebigen Zeitpunkt t wählen können, der Einfachheit halber z.B. t = 0. Dann hätte man gehabt:

P = 1 - ( B ( 1 ) / B ( 0 ) )

= 1 - ( B ( 0 ) * e ^{- λ * 1} / B ( 0 ) )

[ B ( 0 ) kürzt sich heraus: ]

= 1 - e ^{- λ} 

also den gleichen Ausdruck, wie in der ersten Berechnung.

c) Nach der letzten Verabreichung (also nach 120 Minuten) befindet sich im Körper des Patienten der Gesamtbestand G für den gilt:

G = ( ( 2 mg * e ^{- λ * 60} + 1 mg ) * e ^{- λ * 60} ) + 1 mg

= 2 mg * e ^{- λ * 120} + 1 mg * e  ^{- λ * 60} + 1 mg

[ Einsetzen der oben berechneten Zerfallskonstante λ und ausrechnen:]

= 0,25 + 0,3536 + 1

= 1,6036 mg

d) B ( 0 ) = 1,6036 mg. Gesucht ist t, sodass gilt:

B ( t ) = B ( 0 ) * e ^{- λ t} = 1,6036 * e ^{- λ t} < 0,5

<=> e ^{- λ t} < 0,5 / 1,6036

<=> - λ t < ln ( 0,5 / 1,6036 )

[Nun durch - λ dividieren, dabei kehrt sich der Vergleichsoperator um!]

<=> t > ln ( 0,5 / 1,6036 ) / - λ

[ Nun den Wert für λ einsetzen:]

<=> t > ln ( 0,5 / 1,6036 ) / - ( ln ( 2 ) / 40 )

<=> t > 67,25

Also: 67,25 Minuten nach der letzten Verabreichung unterschreitet die Restmenge den Wert 0,5 mg und der Patient wacht auf.

Comments

also die aufgabe ist laut meinem Zettel:
a) Berechne die Zerfallskonstante λ.
Ich verstehe jedoch nicht genau, wie man dies ausrechnen soll, da man ja nicht einmal eine angabe in mg oder ähnlichem hat :/