exponentieller zerfall mit halbwertszeit

Question

Aufgabe:

Die Halbwertszeit eines exponentiell zerfallenden Stoffs beträgt 7,2h.

Nach wie vielen h sind 4,2% zerfallen?

Problem/Ansatz:

wie berechne ich das ? Bitte mit lösungsweg.

Answer 1

Aloha :)

Den Zerfall können wir mathematisch beschreiben:$$N(t)=N_0\cdot\left(\frac12\right)^{\frac{t}{7,2}}$$Gesucht ist die Zeit \(t\), nach der \(4,2\%\) zerfallen sind, also nur noch \(95,8\%\) des ursprünglich aktiven Materials vorhanden sind:$$\frac{95,8}{100}\cdot N_0=N_0\cdot\left(\frac12\right)^{\frac{t}{7,2}}\quad\bigg|\div N_0$$$$\frac{95,8}{100}=\left(\frac12\right)^{\frac{t}{7,2}}\quad\bigg|\ln(\cdots)$$$$\ln\left(\frac{95,8}{100}\right)=\frac{t}{7,2}\ln\left(\frac12\right)\quad\bigg|\cdot7,2$$$$7,2\cdot\ln\left(\frac{95,8}{100}\right)=t\,\ln\left(\frac12\right)\quad\bigg|\div\ln\left(\frac12\right)$$$$7,2\cdot\frac{\ln\left(\frac{95,8}{100}\right)}{\ln\left(\frac12\right)}=t$$$$t\approx0,4457\,\mathrm h$$