Wieviele Glieder Taylorentwicklung von e^x bei Genauigkeit 1%

Question

Hallo. Kenne mich bei folgendem Beispiel überhaupt nicht aus. Vielleicht könnte mir das Beispiel jemand erklären.

Wieviele Glieder der Taylorentwicklung von e^x an der Stelle a=0 müssen Sie berückstichtigen, wenn Sie e^2 mit einer Genauigkeit von mindestens 1% berechnen wollen?

Answer 1

Hi,
Du musst das Restglied der Taylorreihe abschätzten. Für das Lagrange Restglied ergibt sich
$$ R_nf(x,a) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}  $$ Bei Dir ist \( f(x) = e^x \), \( a=0\) und \( x = 2 \)
Da die n-te Ableitung von \( e^x \) wieder \( e^x \) ergibt, gilt für das Restglied
$$  R_nf(x,a) = \frac{e^\xi}{(n+1)!}2^{n+1} $$ mit \( \xi \in (0,2) \)
Da die Exponentialfunktion monoton steigend ist gilt
$$ \left| R_nf(2,0) \right| \le \frac{e^2}{(n+1)!}2^{n+1} \le 0.01  $$
Jetzt musst Du das kleinste \( n\in \mathbb{N} \) bestimmen, s.d. die Ungleichung gilt. Nach meiner Rechnung ergibt sich \( n = 10 \)

Comments

Also unster Prof kommt auf n=7, wobei ich nicht ganz verstehe wie er auf n-1 approximationen ganz oben kommt. Weißt du das vielleicht?

---

Hi, Dein Prof hat den relativen und ich den absoluten Fehler genommen, das sollte den Unterschied erklären.

---

Mhm, davon steht im Skript nicht wirklich was :) Könntest du vielleicht noch etwas genauer schildern wie du im letzten Schritt dann auf 10 kommst? Wäre Klasse :)