Wieviele Glieder Taylorentwicklung von ex bei Genauigkeit 1%

Question

Hallo. Kenne mich bei folgendem Beispiel überhaupt nicht aus. Vielleicht könnte mir das Beispiel jemand erklären.

Wieviele Glieder der Taylorentwicklung von e^x an der Stelle a=0 müssen Sie berückstichtigen, wenn Sie e² mit einer Genauigkeit von mindestens 1% berechnen wollen?

Answer 1

Hi,
Du musst das Restglied der Taylorreihe abschätzten. Für das Lagrange Restglied ergibt sich
$$R_nf(x,a) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$ Bei Dir ist $f(x) = e^x$, $a=0$ und $x = 2$
Da die n-te Ableitung von $e^x$ wieder $e^x$ ergibt, gilt für das Restglied
$$R_nf(x,a) = \frac{e^\xi}{(n+1)!}2^{n+1}$$ mit $\xi \in (0,2)$
Da die Exponentialfunktion monoton steigend ist gilt
$$\left| R_nf(2,0) \right| \le \frac{e^2}{(n+1)!}2^{n+1} \le 0.01$$
Jetzt musst Du das kleinste $n\in \mathbb{N}$ bestimmen, s.d. die Ungleichung gilt. Nach meiner Rechnung ergibt sich $n = 10$

Comments

Also unster Prof kommt auf n=7, wobei ich nicht ganz verstehe wie er auf n-1 approximationen ganz oben kommt. Weißt du das vielleicht?

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Hi, Dein Prof hat den relativen und ich den absoluten Fehler genommen, das sollte den Unterschied erklären.

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Mhm, davon steht im Skript nicht wirklich was :) Könntest du vielleicht noch etwas genauer schildern wie du im letzten Schritt dann auf 10 kommst? Wäre Klasse :)