Taylorentwicklung von e^x zum 6. Grad

Question

Berechnen Sie annährend die Eulersche Zahl e, indem Sie die Funktion f(x)=e^x an der Stelle x0 = 0 in ein Taylorpolynom 6. Grades entwickeln! Welchen Wert müssen Sie für x in den Taylorpolynom einsetzen? Wie genau ist diese Annährung? Schätzen Sie den Fehler mit der Restgliedformel von Lagrange ab! (Hinweis: Sie dürfen e<3 verwenden)

Ich habe bereits eine Tabelle dazu angelegt (auch wenn es eigentlich bei der e-Funktion sinnfrei ist)
Dort hab ich auch schon das Polynom:
P6(x)=1+x+(1/2)x^2+(1/6)x^3+(1/24)x^4+(1/120)x^5+(1/720)x^6
Nur jetzt bin ich mir total unsicher :/
Zu dieser Aufgabe hab ich nun folgende Fragen:
Zum Einsetzen des X Wertes in das T-Poly hab ich 1 genommen ist das richtig?
Wie genau kann ich entscheiden welchen X Wert ich nehmen sollte (jetzt nicht nur auf diese Aufgabe bezogen)?
Was bezweckt das Einsetzen des X Wertes in das T-Poly?
Die Restgliedformel hab ich vor mir liegen und schnall nicht wie das mit dem Intervall gemeint ist ... soll ich einfach einen Intervall definieren und dann diese als Schranke verwenden ?
Was genau bezweckt der Intervall ?

Ich hoffe das niemand sich jetzt ein genervt fühlt das ich hier solche Fragen stelle ... aber ich bin halt Langsam im verstehen von solchen kram und hab bereits mir mehrfach Definition durch gelesen und solches Zeug ... jetzt raucht nur noch mein Kopf :/

Answer 1

Zum Einsetzen des X Wertes in das T-Poly hab ich 1 genommen ist das richtig?
Ja, das gibt P6(1) = 1957/720 ungefähr 2,718...

Wie genau kann ich entscheiden welchen X Wert ich nehmen sollte (jetzt nicht nur auf diese Aufgabe bezogen)?
Das macht ja immer nur Sinn, wenn man an einer Stelle die Werte von
f , f', f '' , f ''',  etc. genau kennt, wie hier etwa bei x=0.
Dann kann man in der NÄhe von 0 statt mit der Funktion mit dem Taylorpolynom rechnen,
und damit man weiss wie genau bzw. ungenau das Erg. ist, kann man das Restglied
betrachten.
Probiere es mal bei deinem Beispiel mit x=2, da ist es immer noch (halbwegs) genau, statt 7,38
gibt es 7,35.    Wenn man allerdings noch weiter von 0 weg geht, wird es arg ungenau.
 
Was bezweckt das Einsetzen des X Wertes in das T-Poly?  Die Berechnung eines Näherungswertes.
Das war natürlich deutlich wichtiger als man noch keine Taschenrechner hatte (Habe ich als
Schüler so erlebt.).  Denn in deinem Fall P6(1) kann man notfalls von Hand ausrechnen.

Die Restgliedformel hab ich vor mir liegen und schnall nicht wie das mit dem Intervall gemeint ist ... soll ich einfach einen Intervall definieren und dann diese als Schranke verwenden ?
Restgliedformel von Lagrange ist doch R= f⁽ⁿ⁺¹⁾(xi)/(n+1)! * (x-xo)ⁿ⁺¹ mit einem xi aus [0,1]
Du hast wohl das Integralrestglied erwischt.
hier also R = f⁽ⁿ⁺¹⁾(xi)/(6+1)! * 1ⁿ⁺¹ mit einem xi aus [0,1]
also R = e^xi/(6+1)! = e^xi/5040  und das e^{xi} ist kleiner als e^1 und du durftest ja e<3 benutzen,
also gilt für den Rest  R < 3/5040 = 1/1680  ungefähr 0,000595.....
Kontrolle mit Taschenrechner zeigt
e^1 - P6(1) =  e  - 1957/720  ungefähr 0,000226...