Grenzwert bei Zahlenfolgen bestimmen

Question

Aufgabe:

Der Grenzwert soll bei diesen Zahlenfolgen bestimmt werden.

\( \left(a_{n}\right)=\frac{\sqrt{6 n^{2}+5 n+4}}{\sqrt{3 n^{2}-5 n-4}} \cdot \frac{\sqrt{27} \cdot n^{2}}{3 n^{2}-2 n+1} \)

\( \left(b_{n}\right)=\frac{\left(2 \cdot 3^{n}+3\right)^{3}}{27^{n}} \)

Ansatz/Problem:

Bei (a) soll 3, bei (b) soll 8 herauskommen. Wie kommt man darauf?

Bei (a) geht der erste Faktor doch gegen 3, folglich muss der zweite Faktor ja gegen 1 gehen, aber mir erschließt sich einfach nicht warum.

Bei (b) hab ich überhaupt gar keine Ahnung, wie man da rangeht. Muss man da nicht irgendwas mit dem Logarithmus machen?

Comments

Um das abzuschätzen brauchst du hier (zufälligerweise!) nur die höchsten Potenzen respektive deren Koeffizienten anzusehen.

(an) -----> (√6 / √3 ) * (√27 / 3) = √2 * (√27/√9) = √2 *√3 = √6

(bn) -----> (2 * 3^n)^3 / 27^n = 2^3*3^{3n} * 3^{-3n} = 2^3 = 8.

Eine vollständige Rechnung findest du in der Antwort von Mathecoach.

Answer 1

lim (n → ∞) √(6·n^2 + 5·n + 4)/√(3·n^2 - 5·n - 4) · (√27·n^2)/(3·n^2 - 2·n + 1)

lim (n → ∞) √(6 + 5/n + 4/n^2)/√(3 - 5/n - 4/n^2) · √27/(3 - 2/n + 1/n^2) = √6/√3 · √27/3 = √6

lim (n → ∞) (2·3^n + 3)^3 / 27^n

lim (n → ∞) (2·3^n + 3)^3 / (3^n)^3

lim (n → ∞) ((2·3^n + 3) / 3^n)^3

lim (n → ∞) (2 + 3/3^n)^3 = 8

Comments

Wie kommst du denn von 27^n auf  (3^n)^3?

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27^n = (3^3)^n = 3^{3*n} = 3^{n*3} = (3^n)^3

Oder anders

(3^n)^3 = 3^n * 3^n * 3^n = (3*3*3)^n = 27^n