Extremerte einer eFunktion

Question

Ich soll hiervon die Extremwerte berechnen:

\( f(x)=\frac{(4-x)^{2}·e^x}{e^{3}} \)

\( f^{\prime}(x)=\frac{-x^{2}+10 x-24 e^{3}}{e^{6}}=0 \)

Ist die Ableitung so richtig? Zur Bestimmung der Maxima/Minima muss die 1. Ableitung ja 0 gesetzt werden, aber wie gehe ich nun weiter vor? Die -24e³ und die e^6 im Nenner irritieren mich.

Answer 1

f(x) = (4 - x)^2/e^3 = 1/e^3 · (4 - x)^2 = 1/e^3·(16 - 8·x + x^2)

f'(x) = 1/e^3·(- 8 + 2·x) = 0

(- 8 + 2·x) = 0 → x = 4

Für die korrigierte Version:

f(x) = 1/e^3·(4 - x)^2·e^x = 1/e^3·e^x·(x^2 - 8·x + 16)

f'(x) = 1/e^3·(e^x·(x^2 - 8·x + 16) + e^x·(2·x - 8)) = 1/e^3·e^x·(x^2 - 6·x + 8)

Answer 2

f = (1/e^3 ) * ( 4 - x )²  * e^x
( 1/e^3 ) ist nur eine Konstante

f = (1/e^3 ) * ( 4 - x )²  * e^x
Produktregel
f ´( x) = (1/e^3 ) * [ 2 *( 4 - x )(-1)  * e^x + ( 4 - x )²  * e^x ]
f ´( x ) = (1/e^3 ) * e^x * [ 2 *( 4 - x )(-1)  + ( 4 - x )²   ]
f ´( x ) = (1/e^3 ) * e^x * [ -8 + 2x   + 16 - 8 x + x^2 ]
f ´( x ) = (1/e^3 ) * e^x * [  8 - 6 x + x^2 ]
(1/e^3 ) * e^x * (  8 - 6 x + x^2 ) = 0
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens 1 der Faktoren 0 ist
e^x ist immer ungleich 0
also
8 - 6 x + x^2 = 0  | pq Formel oder quadratische Ergänzung

Schaffst du das allein ?

x = 2
x = 4

( 2  | f ( 2 ) )
( 4  | f (4 )  )
wären die Extrempunkte

~plot~ (1/e^3 ) * ( 4 - x )²  * e^x ~plot~

Comments

Kannst du mir noch sagen, was bei dieser Funktion das u und was das v ist?

Ich nehme an u=(1/3e)^3+x^2-8x+16 und v=e^x

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Und warum sind es denn keine 2e^x?

Ich habe doch in u und in v jeweils ein e^x, müsste man das dann nicht zusammenfassen?

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f = (1/e³ ) * ( 4 - x )²  * e^x
1/e^3 ist eine Konstante und etwa = 0.05
u = ( 4 - x )^2
u ´= 2 * ( 4 - x )^1 * ( -1)
u ´ =  -8 + 2x
man kann auch zuerst ausmultiplizieren und dann ableiten
u = ( 4 - x )^2
u = 16 - 8x + x^2
u ´ =  -8 + 2x

v = e^x
v ´= e^x

( u + v ) ´= u´ *  v +  u * v´
( u + v ) ´= (-8 + 2x )  *  e^x +  ( 4- x )^2 * e^x  | e^x ausklammern
( u + v ) ´= e^x * [ (-8 + 2x )  +  ( 4- x )^2 ]
Allgemein
a * c + b * c = ( a + b ) * c

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Aber bei u=16-8x+x^2 ist die 16 doch auch eine Konstante und wird mitabgeleitet bzw. fällt weg. Warum muss denn 1/e^3 nicht abgeleitet werden?

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Weil einmal ein mal dazwischen steht und einmal ein plus.

( 8 + x^2 )´ = 2x 
( 8 * x^2 ) ´ = 8 * 2 * x = 16x

f ( x ) = a * x^2
f ´( x ) = a * ( x^2 ) ´ = a * 2 * x

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Ok, jetzt habe ich es denke verstanden. Komme nun auch auf das richtige Ergebnis. Danke an alle. :)