Grenzerlös und Durchschnittserlös

Question

Hallo liebe Mathegemeinde,

zunächst einmal vielen Dank, dass es so ein Angebot wie dieses Forum gibt.
Nun zu meinem Problem.

Heute sind wir mit folgender Aufgabe betraut worden:
Gegeben ist die Erlösfunktion E=E(Q), wobei E den Umsatz und Q die verkaufte Menge darstellen.
Beweisen Sie, dass die Grenzerlöskurve die Durchschnittserlöskurve gerade in deren Maximum schneidet.

Mein Ansatz war der folgende:

Zunächst einmal die Grenzerlösfunktion bestimmen.
dE/dQ =∂E∂Q⋅ dQ/dQ (=1)

∂ hier: partielle Änderung, d="delta"=absolute Änderung


Für die Durschnittserlöse ergibt sich ja:
EQ=E(Q)Q
Diesen Bruch muss ich nun auch partiell differenzieren - und da komme ich nicht weiter. Zwar habe ich mal gelesen, dass man jetzt einfach beide Seiten ⋅Q rechnen kann, allerdings hat man dann wieder E=E(Q) und das bringt einen ja auch nicht weiter.

Wahrschienlich ist die Lösung total trivial und ich stehe einfach nur auf der Leitung.
Ich hoffe jemand kann mir helfen, ein Lösungsansatz bzw. ein denkanstoß würde mir schon genügen.

Vielen Dank und einen schönen Nachmittag
Gruß
Oliver

Comments

Als Inspiration Schau mal hier:

https://www.mathelounge.de/213825/umformung-minimum-grenzkosten-und-durchschnittskosten#a214349

übrigens: Dein E hängt nur von Q ab, so dass man nur vom ableiten spricht (nix mit partiell).

Answer 1

Durchschnittserlös E(Q) / Q

Ableitung mit Quotientenregel

(E'(Q)·Q - E(Q)) / Q^2

Bedingung für ein Maximum

(E'(Q)·Q - E(Q)) / Q^2 = 0

Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null wird

E'(Q)·Q - E(Q) = 0
E'(Q)·Q = E(Q)
E'(Q) = E(Q)/Q

Die Grenzkosten müssen den Durchschnittskosten im Extrempunkt entsprechen.

Comments

oh man die Lösung ist echt logisch! Vielen vielen Dank euch beiden für die schnelle und unkomplizierte Hilfe!

So macht lernen Spaß :) Vielen Dank und einen schönen Nachmittag !