Wie leite ich eine Formel der Schwankung mit Delta ab?

Question

Hier eine der Aufgaben:

Jede ermittelte Zahl hat einen Fehler. So ist die Aussage, dass die Herstellkosten einer bestimmten Schraube 1,23 € betragen streng genommen falsch. Es mag sein, dass sie zwischen 1,22 € und 1,24 € liegen. Man schreibt deshalb:

c = < c > ± Δc

Wenn c z.B. Kosten sind, dann liegen die Kosten im Mittel (Durchschnitt) bei < c >. Und sie schwanken zwischen < c > - Δc und < c > + Δc. Δc ist dabei nicht die maximal mögliche Schwankung, denn diese ist im Allgemeinen unendlich groß.

So kann es nämlich sein, dass durch die Produktion einer Schraube die Fabrik abbrennt und das Areal über 100 Jahre verseucht ist. Dann hätte die Produktion dieser Schraube mehrere hundert Millionen Euro gekostet. Das Ganze ist nur extrem unwahrscheinlich. Deshalb ist Δc eine Schwankung so dass z.B. 90% aller Fälle abgedeckt sind. (Ob es 90%, 80%, oder 50% sind, sollte man natürlich festlegen, spielt aber im Folgenden keine Rolle (Es gibt eine Kostenverteilung wie z.B. eine oft angenommene Gaußverteilung. Das ist aber nicht zwingend. Die einzige zwingende Fordeung ist hier, dass die Verteilung um den Mittelwert symmetrisch ist. Das ist jedoch bei kleinen Schwankungen zumindest näherungsweise fast immer der Fall. Bei beliebig weiten Schwankungen dagegen fast nie. Dann ist eine Fehlerrechnung jedoch sowieso sinnlos.)) 

I.A. ermittelt man die Schwankung Δc also ein "Mittelwert" aus einer (Vielzahl) von beobachteten Schwankungen Δc_i (manche positiv, manche negativ) zu

Δc = √< (Δci)2 >

Das soll auch hier angenommen werden.

a) Wenn zwei Größen (z.B. Kosten für Vergoldung Kontakt A und Kosten für Vergoldung Kontakt B) korreliert sind so addieren sich die Fehler einfach (weil hier z.B. die Schwankung durch den Goldpreis gegeben sind). Wenn die Schwankung jedoch nicht korreliert sind, dann gleichen sich die Fehler etwas aus. Wie lautet die Formel für die Summe zweier Fehler?

 

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Formel für die Summe zweier Fehler bei unkorrelierten Größen

Die Grundlage für die Berechnung der Summe zweier Fehler (\(\Delta\)) unkorrelierter Größen basiert darauf, wie Fehlerfortpflanzung in der statistischen Fehlerrechnung behandelt wird. Dies ist besonders relevant in der Physik und anderen Wissenschaften, wo Messungenauigkeiten präzise gehandhabt werden müssen.

Wenn wir zwei Größen haben, \(A\) und \(B\), mit ihren jeweiligen Fehlern \(\Delta A\) und \(\Delta B\), und wir interessiert daran sind, die Summe dieser beiden Größen (\(C = A + B\)) zu finden, einschließlich des resultierenden Fehlers (\(\Delta C\)), dann müssen wir beachten, dass die Fehler \(\Delta A\) und \(\Delta B\) sich durch Fehlerfortpflanzung auf \(\Delta C\) auswirken.

Für unkorrelierte Schwankungen gilt, dass die Fehler sich quadratisch addieren. Die Formel für die Summe der Fehler (\(\Delta C\)) bei der Addition oder Subtraktion von zwei Größen ist:

\( \Delta C = \sqrt{(\Delta A)^2 + (\Delta B)^2} \)

Diese Formel ergibt sich aus der allgemeinen Regel der Fehlerfortpflanzung, die besagt, dass bei der Kombination von zwei unabhängigen Messgrößen die Varianzen (Quadrate der Standardabweichungen, die oft den Fehler repräsentieren) addiert werden. Da es sich um unkorrelierte Fehler handelt, gibt es keine Kovarianzbeiträge zu berücksichtigen.

Zusammengefasst erlaubt diese Formel, den Gesamtfehler einer um den mittleren Wert schwankenden Größe zu bestimmen, wenn diese aus der Kombination zweier anderer Größen entsteht, deren Fehler unabhängig voneinander sind. Sie ermöglicht eine präzise Einschätzung der Unsicherheit in der Summe der Werte, die für eine Vielzahl wissenschaftlicher und technischer Anwendungen von Bedeutung ist.