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Verteilungsfunktion und Dichtefunktion berechnen
Um die Verteilungsfunktion und die Dichtefunktion für den Abstand \(t\) vom Nullpunkt zu bestimmen, an dem der Strahl auftritt, ist es wichtig, das geometrische Setup zu verstehen. Der Laserstrahl kann in einem Winkel \(\theta\) zur Vertikalen abstrahlen, wobei dieser Winkel gleichverteilt ist. Der Abstand \(t\), an dem der Strahl auf der Zahlengeraden auftrifft, ist eine Funktion von \(\theta\).
Da der Laserpointer 30 cm über dem Nullpunkt angebracht ist, können wir den Tangens von \(\theta\) verwenden, um \(t\) zu berechnen:
\( t = 30 \cdot \tan(\theta) \)
Die Verteilung von \(t\) hängt von der Verteilung von \(\theta\) ab. Da \(\theta\) gleichverteilt ist, müssen wir jedoch die Tatsache berücksichtigen, dass kleine Änderungen in \(\theta\) bei großen Winkeln \(\theta\) eine größere Änderung in \(t\) verursachen als bei kleinen Winkeln \(\theta\). Daraus resultiert, dass \(t\) nicht gleichmäßig verteilt ist.
Da \(\tan(\theta)\) von \(-\infty\) bis \(+\infty\) reicht, wenn \(\theta\) von \(-\frac{\pi}{2}\) bis \(\frac{\pi}{2}\) variiert, ist der Wertebereich von \(t\) theoretisch auch \(-\infty\) bis \(+\infty\).
Dichtefunktion
Um die Dichtefunktion \(f(t)\) zu finden, betrachten wir die Wahrscheinlichkeit einer kleinen Änderung in \(t\), die von einer kleinen Änderung in \(\theta\) herrührt:
\( dt = 30 \cdot \sec^2(\theta) \, d\theta \)
\( d\theta = \frac{1}{30} \cdot \cos^2(\theta) \, dt \)
Da \(d\theta\) gleichverteilt ist, impliziert dies, dass die Dichtefunktion \(f(t)\) der Wahrscheinlichkeitsdichte von \(t\) proportional zu \(\cos^2(\theta)\) ist. Da aber \(\theta = \arctan\left(\frac{t}{30}\right)\),
\( f(t) \propto \cos^2\left(\arctan\left(\frac{t}{30}\right)\right) \)
Zur Normalisierung dieser Funktion über den gesamten Wertebereich von \(t\) verwenden wir die Tatsache, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 sein muss. Ohne eine explizite Rechnung (die eine Integration über den gesamten Wertebereich von \(t\) beinhalten würde) können wir stattdessen auf allgemeine Integralrechnung und Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen verweisen, um diese Aufgabe zu lösen.
Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion \(F(t)\) ist das Integral der Dichtefunktion \(f(t)\) von \(-\infty\) bis \(t\):
\( F(t) = \int_{-\infty}^t f(t') \, dt' \)
Da \(f(t)\) in Bezug auf \(\cos^2\) definiert ist, würde die Bewertung dieses Integrals eine Funktion von \(t\) ergeben, die den Anteil der Fälle repräsentiert, in denen der Laserstrahl zwischen \(-\infty\) und \(t\) auf die Zahlengerade trifft.
Simulation von \(t\)
Um ein \(t\), das durch diese Verteilung erzeugt wird, zu simulieren, wenn ein gleichverteiltes \(x \in [0,1]\) verfügbar ist, inversiert man typischerweise die Verteilungsfunktion \(F(t)\), um die inverse Funktion \(F^{-1}(x)\) zu erhalten. Da \(x\) gleichverteilt ist, wird die Anwendung von \(F^{-1}(x)\) dazu führen, dass die resultierenden \(t\)-Werte entsprechend der ursprünglichen Verteilungsfunktion von \(t\) verteilt werden.
Ohne eine explizite Form für \(F(t)\) und damit \(F^{-1}(x)\) ist es jedoch schwierig, direkt eine formale Methode für die Simulation von \(t\) zu geben. In der Praxis könnte man numerische Methoden oder eine Tabelle der invertierten Verteilungsfunktion verwenden, um diese Umwandlung durchzuführen.
