Vektorraum Kommutativität

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Kommutativität der Addition in einem \( K \)-Vektorraum \( V \) schon aus V2 (aus Vorlesung oder Buch Seite 76) und der Bedingung, dass \( V \) mit der Addition eine Gruppe bildet, folgt.

Seite 76:

Grundbegriffe
e) Ist \( M \) eine beliebige Menge und
\( V=\{f: M \rightarrow K\}=\operatorname{Abb}(M, K) \)
die Menge aller Abbildungen, so sind für \( f, g \in V \) und \( \lambda \in K \)
\( f+g \in V \quad \text { und } \quad \lambda \cdot f \in V \)
erklärt durch
\( (f+g)(x):=f(x)+g(x) \text { und }(\lambda \cdot f)(x):=\lambda f(x) \)
Offensichtlich erhält man im Spezialfall \( M=\{1, \ldots, n\} \) wieder das Standardbeispiel a).

Als Extrakt aus diesen Beispielen führen wir nun den wichtigsten Begriff der linearen Algebra ein (zur Entstehung vgl. [Koe], Kap. 1, §2):

Definition. Sei \( K \) ein Körper. Eine Menge \( V \) zusammen mit einer inneren Verknüpfung
\( +: V \times V \rightarrow V, \quad(v, w) \mapsto v+w \)
(Addition genannt) und einer äußeren Verknüpfung
\( \because K \times V \rightarrow V, \quad(\lambda, v) \mapsto \lambda \cdot v \)
(Multiplikation mit Skalaren oder skalare Multiplikation genannt) heißt \( K \)-Vektorraum (oder Vektorraum über \( K \) ), wenn folgendes gilt:

V1 \( V \) zusammen mit der Addition ist eine abelsche Gruppe (das neutrale Element heißt Nullvektor, es wird mit \( \mathbf{0} \), und das Negative wird mit \( -v \) bezeichnet).

V2 Die Multiplikation mit Skalaren muß in folgender Weise mit den anderen Verknüpfungen verträglich sein:
\( \begin{array}{ll} (\lambda+\mu) \cdot v=\lambda \cdot v+\mu \cdot v, & \lambda \cdot(v+w)=\lambda \cdot v+\lambda \cdot w \\ \lambda \cdot(\mu \cdot v)=(\lambda \mu) \cdot v, & 1 \cdot v=v \end{array} \)
für alle \( \lambda, \mu \in K \) und \( v, w \in V \).
Man beachte, daß, wie in Beispiel a) erläutert, die Verknüpfungen in \( K \) und \( V \) vorübergehend verschieden bezeichnet werden.

Durch Einsetzen der Definitionen und elementarste Rechnungen sieht man, daß in den obigen Beispielen a) bis e) die Vektorraumaxiome erfüllt sind. Dabei ist in Beispiel a) der Nullvektor gegeben durch \( 0=(0, \ldots, 0) \) und das Negative durch
\( -\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left(-x_{1}, \ldots,-x_{n}\right) \)

Answer 1

Man hat nach (V2): \(0=0\cdot x=(1+(-1))x=x+(-1)x\), also \((-1)x=-x\).

In einer Gruppe gilt bekanntermaßen \((g*h)^{-1}=h^{-1}*g^{-1}\).

Für \(V\) als additive Gruppe heißt das: \(-(x+y)=(-y)+(-x)\).

Somit haben wir:

\((-1)(x+y)=-(x+y)=(-y)+(-x)=(-1)y+(-1)x=(-1)(y+x)\), also

\(x+y=1\cdot(x+y)=((-1)(-1))(x+y)=(-1)((-1)(x+y))=\)

\(=(-1)((-1)(y+x))=((-1)(-1))(y+x)=1\cdot(y+x)=y+x\).