Berechnung einer Singulärwertzerlegung

Question

Hallo

ich habe eine Frage zur SVD. Ich habe die Matrix \(A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) gegeben und habe die Eigenwerte und Eigenvektoren von \(AA^t\) berechnet.

Die Eigenwerte sind \(\lambda_1=0, \lambda_2=3, \lambda_3=9\) und die Eigenvektoren \(v_1=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) zu \(\lambda_1=0\), \(v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) zu \(\lambda_2=3\) und \(v_4= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) zu \(\lambda_3=9\). Jetzt muss ich eine ONB aus den Eigenvektoren bilden. Also muss ich die Eigenvektoren mit Gram-Schmidt normieren, oder? Wie mache ich dann weiter?

Danke.

Comments

Sicher, dass die Vektoren stimmen? Die müssen schon orthogonal sein, da \( AA^T \) symmetrisch ist.

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Sorry, da habe ich etwas verwechselt, die Eigenwerte sind natürlich: \(\lambda_1=-5, \lambda_2=-3, \lambda_3=0,\lambda_4=5\). Die Eigenvektoren sind jeweils \(v_1=\begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix},v_2=\begin{pmatrix} 4 \\ 2  \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix},v_3=\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix},v_4=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

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Die Singulärwerte sind doch die Wurzeln der Eigenwerte von \(AA^t\), aber hier habe ich ja negative Eigenwerte. Was ist falsch?

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Muss ein Rechenfehler sein, \(AA^T\) ist immer symmetrisch positiv definit. Versuch es im Zweifel mal von Wolframalpha, Maple. o.Ä. nachrechnen zu lassen. Habe leider gerade nur genug Zeit für so eine kurze Antwort.

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Die alten Eigenwerte und Eigenvektoren haben schon gestimmt. Hab es von einem Programm nachrechnen lassen. Meine Frage ist, ob ich alle EIgenvektoren für die Matrix U brauche.

Answer 1

Also v1 und v2 sind schon orthogonal,

die musst du nur noch normieren.

und dann mit dem Gram-Sc hmidt-Verfahren weiter.