Auf Stetigkeit untersuchen

Question

Untersuchen Sie, an welchen Stellen die Funktion f :R → R mit 

f(x) = x ( falls x e Q) // (1-x) ( x e R\Q)

auf stetigkeit und unstetigkeit.

Könnt ihr mir vielleicht weiter helfen und zeigen wie ich so eine aufgabe lösen kann.

Comments

Hast du irgendwelche Vermutungen, wo die Funktion stetig sein könnte?

Answer 1

Ne.. Aber eine vermutung wo die unstetig sein könnte an der stelle x= 0 wegen den rationalen zahlen.. Sonst weis ich es leider gesagt nicht

Comments

Kannst du diese Antwort noch in einen Kommentar umwandeln? Eine Antwort auf deine Frage ist das ja nun wirklich nicht. ;-)

In jeder Umgebung einer rationalen Zahl liegt eine irrationale Zahl (und umgekehrt). Wenn die Funktion an einer Stelle \(x_0\) stetig ist, dann müssen sich \(x\) und \(1-x\) in der Nähe von \(x_0\) "ähnlich" verhalten, d.h. sie müssen "nah aneinander" liegen. Für welche(n) Wert(e) von \(x_0\) ist das möglich?

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Dann müssten die werte ja 0 und 1 sein... für x = 0 und für 1-1 = 0.. oder =?

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Du musst schon in beide "Teile" das gleiche \(x_0\) einsetzen. Genauer: Für welches \(x_0\) ist \(x_0=1-x_0\)?

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Für 0,5 müsste das doch sein oder?

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Genau. Also könnte man vermuten, dass die Funktion an der Stelle \(x=0.5\) stetig ist und sonst unstetig.
Und das musst du jetzt beweisen (z.B. mit dem \(\varepsilon-\delta\)-Kriterium).

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Hallo ist zwar jetzt eine weile her , muss aber die aufgabe morgen abgeben und habe folgendes gemacht.

|f(x)-f(x0)| = |(1-x)-(1-0,5)| = |(-x+0,5)|

|x-x0|<DELTA  → |x-0,5|<Delta

|-x+0,5|= |-1|x-0,5|| = -1|x-0,5|

|x-x0|= |x-0,5|<DELTA

|f(x)-f(x0)| = -1|x-0,5|

|x-0,5|<Delta  |f(x)-f(x0)=-1|x-0,5||<-1Delta

Delta=-epsilon

Sei e>0 und delta<-e für alle x e R mit |x-0,5|<delta

f(x)-f(x0)= |(1-x)-(1-0,5)|

= |-x+0,5|

=-1|x-0,5|

< -1delta < (-1)*(-e) = e(epsilon)

→|f(x)-f(0,5)|<e (epsilon)

Ich hoffe das das so richtig ist und wenn nicht das ihr mir sagen könnt wo ich das verbessern soll.

Mfg