Ist diese Abbildung Morphismus oder Isomorphismus von einer Gruppe?

Question

Aufgabe:

Die Abbildung \( f: S_{4} \rightarrow S_{4} \) mit \( f(\sigma)=\sigma^{2} \) für alle \( \sigma \in S_{4} \).

Ist diese Abbildung Morphismus oder Isomorphismus von einer Gruppe?

Wie beweise, oder widerlege ich das?

Answer 1

diese Abbildung ist nicht umkehrbar, da \( S_4 \) Elemente der Ordnung \( 2 \) enthält. Diese sind selbstinvers, daher ist die Abbildung nicht injektiv.

Allgemein ist jede Potenzierung mit Exponenten \( n \) auf einer Gruppe, die Elemente der Ordnung \( n \) enthält, nicht injektiv und daher kein Isomorphismus.

Mister