Anzahl Möglichkeiten, vier Ziffern mit Quersumme acht anzuordnen?

Question

es handelt sich konkret um folgende Aufgabenstellung:

"Ein Kennwort besteht aus einem der 26 großen Buchstaben (A-Z) gefolgt von vier Ziffern (0-9). Es sei nun bekannt, dass der Buchstabe ein 'H' ist. Wie viele Möglichkeiten gibt es nun ein Kennwort zu erzeugen, bei dem die Quersumme der vier Ziffern gleich acht ergibt?"

Die Musterlösung hat nur einen sehr knappen Lösungsweg und berechnet dies wie folgt: 

"Modellidee: aus 11 Fächern 3 wählen für das +-Zeichen

=> 11 über 3 = 165 Möglichkeiten"

Ich verstehe allerdings nicht, wie man auf diese Modellidee kommt? Warum 11 Fächer?

Vielen Dank schonmal im voraus!

Comments

Die Modellidee hat in meinen Augen nicht viel mit der konkreten Aufgabe zu tun, sondern erinnert dich nur daran, wie man die Anzahl der Möglichkeiten berechnet aus 11 Fächern 3 auszuwählen.

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Schau dir zur Quersumme vielleicht auch mal das hier an, vor allem die Kommentare unter der Antwort.

https://www.mathelounge.de/23079/anzahl-der-zahlen-mit-quersumme-die-keine-ziffer-enthalten

 

oder das hier:

https://www.mathelounge.de/10038/anzahl-der-zahlen-bis-999-mit-der-quersumme-9

vor allem die Antwort von Mathecoach kann dir helfen.

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Die Antwort von Mathecoach ist in der Tat sehr hilfreich!

Lässt sich auch super auf dieses Problem hier übertragen.

 

Answer 1

Ich habt ja bereits eine Antwort gefunden wie ich es gelöst hätte:

Man nimmt für die Quersumme Acht, genau 8 Steinchen. Wenn diese auf vier Ziffern aufzuteilen sind, legt man die Acht Steine getrennt in vier Haufen.

Um das ganze zählbar zu machen lege ich die 8 Steine mit 3 Trennern nebeneinander:

* * | * * | * * * | * --> 2 2 3 1

Nun ist die Frage wie viel Möglichkeiten man hat 8 Steine und 3 Trenner nebeneinander hinzulegen. Da ich 11 Gegenstände habe gibt es 11! Möglichkeiten diese Anzuordnen. Da ich die Steine nicht unterscheiden kann muss ich noch durch 8! teilen. Da ich aber die Trenner auch nicht unterscheiden kann folgt noch eine Teilung durch 3!.

11! / (8! * 3!) = (11 über 8) = (11 über 3) = 165 Möglichkeiten

Insgesamt mit dem Buchstaben gibt es also

26 * 165 = 4290 Möglichkeiten

Wenn H bekannt ist entfällt das multiplizieren mit 26 und es bleibt bei 165 Möglichkeiten.

Comments

Das entspricht doch dem Tipp mit den Schubladen: Zähle die leeren Schubladen bis zur ersten Lade, die ein Plus enthält, dann die leeren Laden bis zum zweiten Plus, dann die bis zum dritten Plus und schließlich die restlichen leeren Laden. Die vier so gebildeten Ziffern ergeben in der Quersumme immer 8 und die Anzahl der so gebildeten Ziffernfolgen beträgt 3 aus 11.