Die Höhe einer Sonnenblume soll zunächst modellhaft beschrieben werden durch eine Funktion
h1(t) = 0.08·e^{k·t} ; Höhe h1(t) in m und t in Wochen
Bestimmen Sie die Wachstumskonstante k, wenn die Sonnenblume in den ersten 5 Wochen der Beobachtung 0.52 m gewachsen ist.
h1(0) = 0.08 m
h1(5) = 0.08·e^{k·5} = 0.08 + 0.52 --> k = 0.4030
Wie hoch müsste demnach die Sonnenblume 8 Wochen nach Beginn der Beobachtung sein?
h1(8) = 0.08·e^{0.403·8} = 2.010 m
Die Sonnenblume ist nach 8 Wochen tatsächlich nur 1.20 m hoch. Die Höhe wird deshalb für t ≥ 5 modellhaft beschrieben durch die Funktion
h2(t) = a - b·e^{- 0.5·t}
Bestimmen Sie a und b aus den beobachteten Höhen nach 5 und 8 Wochen.
h2(5) = a - b·e^{- 0.5·5} = 0.6
h2(8) = a - b·e^{- 0.5·8} = 1.2
a = 1.372 ∧ b = 9.409
h2(t) = 1.372 - 9.409·e^{- 0.5·t}
Welche Höhe wird langfristig erwartet?
lim (t → ∞) h2(t) = 1.372 m
Welchen Nachteil hat Modell h1 gegenüber h2 ?
h1 beschreibt ein unbeschränktes Wachstum mit einer immer größer werdenden Wachstumsgeschwindigkeit. Das ist für Wachstumsvorgänge eher unüblich, weil das Wachstum in der Regel irgendwann immer stagniert.
