Klar, hier:
Ich mache es mal ganz ausführlich (mit etwas Hintergrund):
Räume sind ja in der Mathematik immer Mengen mit einer gewissen Struktur (hier mit einer Addition und Multiplikation).
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(1) Teilraumkriterien: Definition vom Teilraum allgemein (hier mal synonym mit "Untervektorraum" verwendet):
Ist \((V,+,\cdot~)\) (d.h. eine Menge V zusammen mit einer Addition "\(+\)" und einer Multiplikation "\(\cdot\)", oft auch einfach nur abgekürzt \(V\)) ein Vektorraum über dem Körper \(\mathbb{K}\),
dann heißt \((U,+,\cdot~)\)
(d.h. eine (nicht notwendigerweise) andere Menge \(U\) mit denselben Verknüpfungen \((+\cdot~)\); wieder kann man kurz \(U\) sagen) genau dann Untervektorraum ("Teilraum") von \((V,+,\cdot~)\), kurz \(V\), wenn
\(U\subset V\) ist (das ist meist sowieso klar) und
(i) \(0\in U\) ist (das ist gleichbedeutend mit \(U\neq\emptyset\)) und außerdem
(ii) \(x+y\in U\) (Abgeschlossenheit bzgl. "\(+\)") sowie
(iii) \(\lambda x\in U\) (Abgeschl. bzgl. "\(\cdot\)")
für alle \(x,y\in U, \lambda\in\mathbb{K}\) gilt.
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(2) Was bedeutet \(\mathbb{R}^3\)?
\(\mathbb{R}^3 = \mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R} = \{(a,b,c)|a,b,c\in\mathbb{R}\}\) bezeichnet üblicherweise die Menge aller geordneten Listen (geordn. Liste="Tupel") dreier reeller Zahlen ("nimm dir drei beliebige reelle Zahlen und gib ihnen eine Reihenfolge und alle Möglichkeiten, das zu tun, bilden zusammengenommen \(\mathbb{R}^3\)").
Damit der \(\mathbb{R}^3\) zum Vektorraum \((\mathbb{R}^3,+,\cdot~)\) wird, braucht er eine entsprechende Addition und eine Multiplikation. - Die solltest Du üblicherweise als solche kennen:
Addition: \((a,b,c)+(d,e,f) := (a+d~,~b+e~,~c+f)\) und
Multiplikation: \(\lambda\cdot (a,b,c) := (\lambda a~,~\lambda b~,~\lambda c)\) mit \(\lambda\) aus dem Körper der reellen Zahlen.
(Typischerweise werden, wie oben unter (1) schon angedeutet, auch in gewissen Zusammenhängen, dort, wo das eben sinnvoll ist, die Symbole \(\mathbb{R}^3\) und \((\mathbb{R}^3,+,\cdot~)\) synonym verwendet...)
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(3) Zusammenführung (Quasi: Beweis):
Klar ist, dass wir eben die Teilraumkriterien prüfen müssen, wie wir uns ja einig sind... - Dazu halten wir fest, dass wir einen Vektorraum haben, nämlich den \(\mathbb{R}^3\) (= ausgeschrieben "\((\mathbb{R}^3,+,\cdot~)\)") über dem Körper \(\mathbb{R}\) der reellen Zahlen, was ja eigentlich schon die einzige Voraussetzung aus (1) ist. - Prüfen wir also endlich:
Der Kern \(K(L)\) besteht offensichtlich vollständig aus 3-Tupeln (=geordnete Listen aus 3 Elementen) reeller Zahlen. Der \(\mathbb{R}^3\) ist die Menge aller reellen 3-Tupel. Also ist \(K(L)\subset\mathbb{R}^3\).
(i) Die Null ist im Kern. Das ist sie immer. In einem meiner ersten Kommentare steht es als kurzer Beweis:
\(f(0) = 0\) - das ist klar, denn man kann schreiben wegen einiger Folgen der Vektorraumaxiome (="-kriterien"), dass \´(0 = 0\cdot 0\), also \(f(0) = f(0\cdot 0\).
Der Linearität wegen muss nun aber gelten, dass \(f(0) = f(0\cdot 0) = 0\cdot f(0)\) und dafür gelten auch wieder die Axiome (="Kriterien"), dass nämlich \(0x = 0\) für alle \(x\) in einem Vektorraum, also (wählen wir \(x = f(0)\)!) ist \(0\cdot f(0) = 0\).
(ii) Die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition habe ich mithilfe der Definition der Addition oben zeigen wollen... - Vielleicht in Worten (mit der Zeit sollte man sich aber lieber mehr an die mathematische Sprache halten, das hilft ungemein...):
Habe ich zwei 3-Tupel, bei denen jeweils die ersten beiden Einträge gleich sind und der letzte Null und addiere ich die Tupel in der naheliegenden, unter (2) definierten Weise, dann ist das, was heraus kommt, immer noch ein 3-Tupel, bei dem die ersten beiden Zahlen gleich sind und die dritte Null. (Man vergleiche oben!)
(iii) Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation:
Wieder in Worten, es wird für Dich ein Leichtes sein, analog zu (ii) und zu (2) eine Formel zu finden, wenn du alles bisher verstanden hast: -
Habe ich wieder zwei 3-Tupel, bei denen jeweils die ersten beiden usw. usw. (wie unter (ii)!) und multipliziere ich die Tupel in der beschriebenen Art mit irgendeinem \(\sigma\) (Als Skalar!) dann habe ich ein 3-Tupel mit zwei gleichen Zahlen vorne und einer Null hinten...
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\(\square\)
Das hat jetzt doch etwas länger gedauert, das tut mir Leid... :|
Ich hoffe, das hilft- Sollte Dir noch etwas fehlen oder hast Du etwas heraus, bei dem du dir nicht sicher bist, dann freue ich mich, dir weiterhin helfen zu können. ;)
Bis dahin!
