2=4xe^0,25x das x soll berechnet werden

Question

f(t)= 4*t*e^{-0,25*t}

f(t) Konzentration im Blut in mg

t Zeit

Zu welchen Zeitpunkten beträgt die Konzentration im Blut 2mg?

Comments

Hi, welche Hilfsmittel sollen verwendet werden?
– ein abgebildeter Graph?
– GTR oder CAS?
– ...

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Ein Graph ist bei der Aufgabe dabei. t1=5 und t2=13. Es soll bei der Aufgabe nur abgelesen werden, aber mich interessiert der Rechenweg

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Hi, in der Schulmathematik wird das nicht berechnet, da die entstehende Gleichung keine analytische Lösung besitzt. Näherungsverfahren per Hand sind aufwändig und werden, wenn überhaupt, im Schulunterricht nur sehr oberflächlich und ohne sinnvolle Grundlagen behandelt. Man begnügt sich mit Wertetabellen, Schaubildern oder rechnergestützten Verfahren, also Hilfsmitteln, deren Einsatz durchaus angemessen sein kann. Das schließt natürlich nicht aus, dass man bisweilen bereits durch Rumtippen auf dem Taschenrechner zu guten Näherungen kommt...

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ich hatte mich verschrieben t1=0,5 t2=13

Answer 1

Das können wir nicht algebraisch auflösen.

Dafür verwendet man in der Regel ein Näherungsverfahren.

Es bietet sich Intervallschachtelung oder das Newtonverfahren an.

Eine Skizze liefert

Ich komme auf die Lösungen

t = 0.5777 oder t = 13.05

Comments

Das scheint richtig zu sein :) Kannst du bitte den Rechenweg notieren?

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Wie bereits erwähnt rechnet man das über ein Näherungsverfahren. Du kannst also z.B. eine Wertetabelle machen

4·t·e^{- 0.25·t} = 2

4·t·e^{- 0.25·t} - 2 = 0

Letzteres Notiert man sich als Funktion und sucht per Wertetabelle nach Nullstellen

y = 4·t·e^{- 0.25·t} - 2

Wertetabelle

[0, -2;
1, 1.115203132;
2, 2.852245277;
3, 3.668398632;
4, 3.886071058;
5, 3.730095937;
6, 3.355123843;
7, 2.865670416;
8, 2.330729063;
9, 1.794372084;
10, 1.283399944;
11, 0.8128258931;
12, 0.3897792816;
13, 0.01625880724;
14, -0.3089465283;
15, -0.5889352486;
16, -0.8277991111;
17, -1.030032094;
18, -1.200152249;
19, -1.342471164;
20, -1.460964240]

Man erwartet immer Nullstellen wo man von einem negativen Funktionswert auf einen positiven wechselt oder umgekehrt. Also hier zwischen 0 und 1 und 13 und 14.

D.h. man kann zwischen 0 und 1 eine weitere Wertetabelle machen

[0, -2;
0.1, -1.609876035;
0.2, -1.239016460;
0.3, -0.8867078164;
0.4, -0.5522601311;
0.5, -0.2350061948;
0.6, 0.06569914342;
0.7, 0.3504796581;
0.8, 0.6199384098;
0.9, 0.8746583875;
1, 1.115203132]

Wir erwarten also eine Nullstelle zwischen 0.5 und 0.6. Das kann man jetzt beliebig oft wiederholen und bekommt immer eine Nullstelle mehr dazu.

Etwas schneller geht das Newtonverfahren von dem ich aber nicht weiß ob ihr das bereits besprochen habt.

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Danke :)

ja das Newton-Verfahren haben wir kurz angesprochen