Die Produktionskosten eines Werkstücks, Integral, Mittelwert

Question

Die Produktionskosten eines Werkstücks verkleinern sich mit fortdauernder Produktion. Sie betragen für das x-te Werkstück K(x)= (1/15000)*(x-600)^2 + 21 in Euro

a) Wie hoch sind bei einer Produktion von 400 Stück die gesamten Produktionskosten und die durchschnittlichen Kosten pro Stück?

b) Bei welcher Stückzahl liegt der durchschnittliche Preis zum ersten Mal unter 37 Euro?

a) habe ich verstanden und b) habe ich durch Ausprobieren gelöst, aber wie kann die b) ohne Ausprobieren lösen? Wie erstelle ich eine Formel mithilfe des Mittelwerts für endliche Zahlen? D.h. wie soll ich die Formel als  diskrete Summe darstellen?

Comments

Diskussion von a) auch hier https://www.mathelounge.de/639209/die-produktionskosten-eines-werkstucks

Answer 1

b) ohne Ausprobieren lösen

$$ K(x)=37 $$

(1/15000)*(x-600)² + 21=37

nach x auflösen.

wäre das ein Weg ?

Comments

Aber das sind nicht die durchschnittlichen Kosten?!

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Sie betragen für das x-te Werkstück K(x)=

Ich denke, in diesem Fall ist die Funktion tatsächlich die Stückkosten bezogen.

Answer 2

Die Produktionskosten eines Werkstücks verkleinern sich mit
fortdauernder Produktion. Sie betragen für das x-te Werkstück
K(x)= (1/15000)*(x-600)² + 21 in Euro

a) Wie hoch sind bei einer Produktion von 400 Stück die gesamten
Produktionskosten und die durchschnittlichen Kosten pro Stück? 

Stammfunktion
∫ K ( x ) dx
K ( x ) = (1/15000)* ( x^2 -1200 * x + 360000) + 21
K ( x )=  1 / 15000 * x^2   - 1200 / 15000 * x + 360000 / 15000  + 21
K ( x )=  1 / 15000 * x^2   - 0.08 * x + 45

S ( x ) = 1 / 15000 * x^3 / 3 - 0.08 * x^2 / 2 + 45 * x

[ 1 / 15000 * x^3 / 3 - 0.08 * x^2 / 2 + 45 * x ]₀⁴⁰⁰

b) Bei welcher Stückzahl liegt der durchschnittliche Preis zum
ersten Mal unter 37 Euro

[ S ( x ) ]₀^z = 37 * z
1 / 15000 * z^3 / 3 - 0.08 * z^2 / 2 + 45 * z  = 37 * z 
1 / 15000 * z^3 / 3 - 0.08 * z^2 / 2 + 8 * z  = 0
z * ( 1 / 15000 * z^2 / 3 - 0.08 * z^ / 2 + 8 )   = 0
z = 0
und
1 / 15000 * z^2 / 3 - 0.08 * z^ / 2 + 8    = 0 | pq-Formel oder quadratische Ergänzung

Das Ergebnis für z gibt genau die Anzahl an wann 37 € erreicht sind.
Dann die nächsthöhere ganze Zahl nehmen.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.
Bei Fragen wieder melden.

Comments

Hallo georgborn,

Ich habe eine Frage zu dieser Antwort.

Bei der b)

In der Zeile bei [S(x)]0^z = 37*z

Warum macht man hier mal z ... Ich habe genau die Aufgabe auch als Hausaufgabe auf und verstehe alles außer warum man dort mal z macht ...

Wäre dankbar über eine schnelle Antwort.

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Auf die Schnelle :

Die Stammfunktion ist S ( x )

Zwischen [ s ] 0 bis 400 wären die Gesamtkosten der Produktion von 400 Stück

Diese geteilt durch 400 ergibt die durchschnittlichen Kosten  pro Stück.

Nun sollen die durchschnittlichen Kosten 37 E betragen.
und z wäre die Anzahl der Teile

[ S ] zwischen 0 und z = 37 * z

Ich hoffe ich habs richtig.

mfg Georg

Gehe jetzt fernsehschauen.

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Also erstmal mega vielen Dank für die schnelle und hilfreiche Antwort... Ich hab's jetzt echt gecheckt .

Danke ✌

Mfg Lukas

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Mir geisterte die Frage doch noch durch den Kopf.

K ( x ) sind die Kosten pro Stück für das x-te Stück

Davon wird die Stammfunktion gebildet

[ S ] zwischen 0 und 400 wären die Gesamtkosten für die ersten 400 Stück

[ S ] zwischen a und b ergibt die Gesamtkosten in einem Intervall

Ist der Intervallanfang 0 ist der Wert der Stammfunktion auch 0 da x in allen
Summanden 0 wird.

[ 1 / 15000 * x³ / 3 - 0.08 * x² / 2 + 45 * x  ]₀^z schreibt man mathematisch korrekt
damit das x der Stammfunktion nicht mit dem x der oberen Intervallgrenze
kollidiert.

1 / 15000 * z³ / 3 - 0.08 * z² / 2 + 45 * z - ( 1 / 15000 * 0³ / 3 - 0.08 * 0² / 2 + 45 * 0 )
1 / 15000 * z³ / 3 - 0.08 * z² / 2 + 45 * z

Gesamtkosten von 0 bis z = Durchschnittspreis pro Stück * z
1 / 15000 * z³ / 3 - 0.08 * z² / 2 + 45 * z = 37 * z

Einmal durch z kürzen ergibt
1 / 15000 * z² / 3 - 0.08 * z / 2 + 45 = 37

z = 229 Stück
ein weiteres Mal bei
z = 1571

Gruß Georg