Bestimme die Nullstellen der ganzrationalen Funktion f(x)=x³-6x+4 mit Polynomdivision

Question

Hi, Ich habe hier eine Aufgabe die lautet:

Bestimme die Nullstellen der ganzrationalen Funktion f(x)=x³-6x+4, x ∈ R mithilfe der Polynomdivision.

Die Lösung dazu habe ich auch. Da rechnen die (x³-6x+4):(x-2)=x²+2x-2 . Eine Nullstelle war bei x=2. Jetzt geht das ja mit der p-q-Formel.

Aber warum teilt man durch (x-2)? Dann würde man ja durch 0 teilen, was ja verboten ist.

Wenn angegeben ist, durch was man teilen muss kann ich die Polynomdivision, aber woher soll man denn wissen wodurch geteilt wird?

Answer 1

Das sind jetzt eigentlich 2 Fragen. 

Die lassen sich eigentlich nur mit der 'Tatsache' (ist aber ein nichtrivialer Satz) erklären, dass sich Polynome 'eindeutig' faktorisieren lassen. Das ist etwas, das du einfach glauben musst, wenn du nicht gerade Mathematik studierst.

Beiden reellen Zahlen z.B. gilt: amit ein Produkt 0 sein kann, muss einer der Faktoren 0 sein.

Plausibel wird die Faktorisierung ' anhand eines Bildes der Funktion:

 

 

 

 

 

 

Hier sieht man, dass 3 Nullstellen vorhanden sind. D.h. für 3 x-Werte gibt f(x) 0 und (wenn man zoomt plausibel) sonst nie.

Dieses Bild rauskommen kann, muss 

f(x₁) = f(x₂) = f(x₃) = 0 sein. Man kann gleichzeitig Folgendes fordern:

f(x) = g(x) (x-2) 

f(x) = h(x)(x-x₂)

und

f(x) = k(x)(x-x₃)

und es gibt keinen nichtgenannten linearen Faktor, da keine weitere Nullstelle vorhanden ist.

Weil nun ein Polynom vom Grad 3 vorliegt, und mindestens genau diese 3 Faktoren auch vorkommen müssen, muss 

f(x) = A (x-2)(x-x₂)(x-x₃) lauten A kann dabei nicht mehr von x abhängen.

 

Du hast in deiner Frage festgestellt, dass Polynomdivision ist nicht für alle x-Werte der Funktion 'wahr' ist.

Die Schreibweise (x³-6x+4) : (x-2) = x²+2x-2 bedeutet eigentlich nur

 

Die Gleichung (x³-6x+4) = (x-2) (x²+2x-2)   ist für beliebige x-Werte richtig.        

An der Stelle x₁=2 kommt hier rechts und links der Gleichung 0 raus.

 

Deine andere Frage: Woher nimmt man der ersten Faktor der Polynomdivision?

Das geht eigentlich nur bei Funktionen, die irgendwo eine rationale Nullstelle haben. 

Am bequemsten: Man sieht im Graphen der Funktion eine Nullstelle.

2. Variante Qualifiziertes Raten. Dazu schaut man, dass der vor dem x mit dem höchsten Exponenten der Faktor 1 ist. Man dividiert schlimmstenfalls links und rechts durch ein allfälliges A ≠ 0 und A ≠ 1.

Dann setzt man 'im Kopf' für x ein paar Werte ein, die mit der Faktorzerlegung des konstanten Summanden zu tun haben.

In  f(x) = x³- 6x+4       kommen ±1,±2,±4 in Frage.

Im Moment bekommst du wahrscheinlich Aufgaben, die sich so lösen lassen.

Es gibt für kompliziertere Fälle numerische Näherungsverfahren. 

 

Answer 2

Fange mal mit der letzten Frage an.

Egentlich geht  es ja  um Polynomfaktorisierung.

das Polynom kann man auch so schreiben:

(x³-6x+4)=(x-2)*(x²+2x-2)        hieraus wird erkennbar das eine Nullstelle  2 sein muß

 

Die erste Frage ist da schon etwas schwieriger , hier wurde nämlich das Eisensteinkriterium angewendet.

Hier wird davon ausgegangen das es eine Primzahl p existiert  die alle Koeffizienten teilt , in der  aufgabe die 2.

Das heisst vereinfacht gesagt, man schaut sich die  Summanden des Polynoms an und erhält dann durch Primfaktorenzerlegen der einzelen Summanden(natürlich ohne die Variablen, sprich x) vielleicht einen gemeinsamen Primfaktor, sind alle Summanden gerade ist es wohl immer die 2 , der kleinste Primzahl.

-zu Beispiel zurück bedeutet das (x-2) da der letzte Summand des Polynoms addiert wird..

(die nächtsten Nullstellen sind dann bei   (√3)-1    und   -1-√3)

Answer 3

Bei drei Nullstellen kann man eine Funktionsgleichung in folgender Form schreiben: f(x) = (n₁ - x)*(n₂ - x)*(n₃ - x)

So lässt sich mit einer Division der Gleichung durch eine der Klammern jeweils ein Element "heraustrennen".