Abbildungen/Mengen bestimmen

Question

Sei h: C → C die Abbildung: h(z) = z^2 + 4z + 3.

(a) Bestimmen Sie die Menge A aller z ∈ C mit h(z) = −1. 

(b) Bestimmen Sie die Menge B aller z ∈ C mit h(z) = −(1 + 2i). 

Brauche unbedingt Hilfe bei der Aufgabe. Ich weiss nicht wie ich die Mengen bestimmen soll.

Answer 1

Sei h: C → C die Abbildung: h(z) = z² + 4z + 3.

(a) Bestimmen Sie die Menge A aller z ∈ C mit h(z) = −1.

z² + 4z + 3  =  -1 

z² + 4z + 4  = 0

(z+2)^2 = 0

z+2 = 0

z = -2

b)  z² + 4z + 3 = -1 -2i

z² + 4z + 4 =  -2i

(z+2)^2 =  -2i

komplexe Wurzel aus -2i ist -1+i   also

z+2 = -1+i   oder z+2 = 1 - i

z = -3 + i    oder   z =  -1 - i

(b) Bestimmen Sie die Menge B aller z ∈ C mit h(z) = −(1 + 2i).

Comments

Kannst du mir bitte kurz erklären warum √(-2i) =-1+i ?

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Probe:   (-1 + i) ^2 = 1 -2i + i^2 = -2i

um das zu finden, kannst du dir -2i im Koordinatensystem

(Gausssche Zahlenebene) vorstellen, ist dann der Pfeil von

(0,0) zu  ( 0,-2)

Dann den Winkel mit der pos. rellen Achse halbieren

kommst du auf 135°  also eine komplexe Zahl der Form

-a+a*i

und wegen Länge 2 ist a=1 oder -1

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Was mache ich da falsch? Wurzel ziehen aus -2i:

w=√(-2i) -> w^2=-2i

|w^2|=2

=> w=|w^2|(cosφ + isinφ)=2(cos(3π/2) + isin(3π/2))=2(0+i(-1))=-2i

Das kann doch nicht sein.

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2·i = 2·e^{1/2·pi·i}

√(2·i) = √2·e^{1/4·pi·i} = 1 + i

√(2·i) = √2·e^{5/4·pi·i} = -1 - i

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Was mache ich da falsch? Wurzel ziehen aus -2i:

w=√(-2i) -> w²=-2i    richtig!

|w²|=2

aber zu w^2 gehört der Winkel 3pi/2  also zu w der Winkel 3pi/4

und |w|= wurzel(2), da  |w²|=2

=> w=|w²|(cosφ + isinφ)=2(cos(3π/2) + isin(3π/2))=2(0+i(-1))=-2i 

korrektur:

=> w=|w|(cosφ + isinφ)=wurzel(2)(cos(3π/4) + isin(3π/4))=

= wurzel(2)( -wurzel(2) / 2  + i  * wurzel(2) / 2

= -2 / 2   +   i  *  2/2    =  -1 + i

und entsprechend das negative davon   - (-1 + i) = 1 - i

Das kann doch sein !

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Es ging um die Wurzel aus minus 2i

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Oh ja. Minus 2i ist ja viel Schwieriger.

Aber wenn man verstanden hast das √-1 = i ist dann vielleicht doch nicht so viel schwieriger.

Denn dann gilt ja auch √(-2i) = √(-1) * √(2i)

Eigentlich könnte man hier noch die 2 als eigene Wurzel schreiben. Mach ich mal nicht weil das Ergebnis so schöner war.