Verlässliche Probe bei Wurzelgleichungen?

Question

Folgende Wurzelgleichung finde ich etwas kurios:

$$ \sqrt { 3 x - 5 } + \sqrt { 5 x - 1 } = 2 $$

Ich schreibe jetzt nicht den gesamten Weg. Die "Lösungen" sind

\( x_1 = 10 \)

\( x_2 = 2 \)

Beide sind mehrfach überprüft von mir und meinem Lehrer - beide richtig. Beide sind auch in der Definitionsmenge vorhanden. Aber beide sind keine Lösungen, denn die Probe funktioniert nicht. Laut meinem Lehrer liegt das daran, dass ich im Lösungsweg quadrieren musste und dadurch Lösungen verloren gehen können bzw. überhaupt keine Lösung existiert, wie in diesem Fall.

Die Frage ist: Wie kann ich denn die Probe machen, so dass ich wenigstens weiß, dass x1 und x2 richtig berechnet wurden und auf dem Rechenweg kein Fehler liegt, wenn ich mich nicht auf die übliche Probe durch einsetzen verlassen kann, da sie ja falsch und doch richtig sein könnte?

Danke,

Thilo

Comments

Beim Quadrieren können Lösungen dazukommen. Verlieren sollte man so eigentlich nichts. Eher beim Dividieren und Wurzelziehen.

Hast du ein Beispiel für eine verlorene Lösung beim Quadrieren?

Ich glaube nicht, dass du dann noch deinen Weg einfach kontrollieren kannst.

---

Also wenn Du links aus der Addition  eine Subtraktion machst und rechts -2 setzt, dann würden die Lösungen stimmen.

---

-√(3x-5)  + √(5x - 1) = 2  so würden die Lösungen auch passen.

Eine 2. Wurzel ist per Definition positiv, aber es ist so, dass auch der negative Wert, quadriert, den Wert unter der Wurzel ergibt.

Answer 1

Die falschen Lösungen erhält man ja beim Quadrieren, da sowohl x=a als auch x=-a beim Quadrieren auf die selbe Gleichung abgebildet werden.

 

In deinem Fall liegen nun zwei Wurzeln vor: das Problem ist, dass beide Lösungen Voraussetzen, dass eine der beiden Wurzeln negativ ist, was bei einer einzigen Wurzel nicht passieren kann.

 

Dass es tatsächlich keine Lösung gibt, kannst du auch erkennen, wenn du folgendes beachtest:
untersuche die Funktion f(x) = √(3x-5) + √(5x-1)

Als additive Verknüpfung zweier Wurzelfunktionen ist sie monoton steigend, das heißt aus x>y folgt auch f(x)≥f(y).

Die kleinste Zahl, für die die Funktion definiert ist, ist 5/3, denn dann wird der linke Radikand gerade 0.

f(5/3) = √(22/3) > √4 = 2

Wegen der Monotonie müsstest du ein kleineres x einsetzen, um eine kleinere Lösung zu erhalten, das ist aber nicht möglich, da die Funktion für kleinere x nicht definiert ist. Also gibt es kein x für das f(x)=2 gilt.

Answer 2

Man kann die Gleichung umformen, so dass auf einer Seite 0 steht.

und das als Funktion in einem Graphikplotter einzeichnen. Hier  |-2 links und rechts.

Da sieht man, dass x = 0.5 eine Lösung sein müsste. Die hast du irgendwo verloren.

Halt! Da habe ich die Funktion falsch eingegeben. 0.5 oder was Ähnliches führt ja bei der Einsetzprobe auf eine negative Zahl unter der Wurzel. Das geht nicht!

So sieht's aus: Also keine Nullstelle und deshalb keine Lösung

Answer 3

√(3x-5)  + √(5x - 1) = 2    auf beiden Seiten quadrieren

3x-5 + 5x -1 + 2 * √(3x-5)*√(5x - 1) = 4

8x -6 + 2 * √(15x² - 28x +  5) = 4

2 * √(15x² - 28x +  5) = 10 - 8x

√(15x² - 28x +  5) = 5 - 4x     nochmals beide Seiten quadrieren

15x² - 28x +  5 = 16x² -40x + 25

x² -12x + 20 = 0

Einsetzen in die pq-Formel: Das gibt die Lösungen 10 und 2, die Thilo erhalten hat.

Answer 4

Die Lösung muss in die Ursprungsgleichung eingesetzt werden und wenn die beiden vorhandenen  "Lösungen" die Gleichung nicht erfüllt, erhält man als Lösung die leere Menge L={}, auch wenn sie den Definitionsbereich erfüllen.

Wichtig ist auch vorher den Definitionsbereich für die Lösungen festzulegen denn der Wert  unter der Wurzel darf nicht negativ werden, da ja dann gar keine Lösung möglich.