Zeigen Sie die Abbildung f eine stetige Bijektion. Zeigen Sie, f −1 nicht stetig ist.

Question

Zeigen Sie, dass die Abbildung

                                                f : [0, 2π) → S¹ 

                                                               α ↦ (sin α, cos α) 

mit S¹:= {x ∈ ℝ² | ||x||₂ = 1} eine stetige Bijektion ist. Zeigen Sie, dass f^-1 nicht stetig ist. 

Comments

Woran scheitert's denn?

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cos und sin sind stetige Funktionen. daraus würde ich zunächst einmal folgern, dass f stetig ist. ich weiß nicht so ganz wie S¹ da ins Spiel kommt, bzw. wie wirkt sich das aud cos und sin aus. 

bijktiv: injektiv: f(alpha)=f(betha) <=> (sin a, cos a)=(sin b, cos b) <=> a=b, da a und b aus dem Intervall [0,2Pi)

surjektiv ist logisch klar: für alle sin und cos existiert ein alpha im Intervall, da f stetig. Da fehlt bestimmt noch der richtige beweis und ich habe immer Schwierigkeiten mit der Notation... 

Warum ist die Umkehrfunktion nicht stetig? Spielt das Intervall der Wertemenge eine Rolle?

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Den Schritt

$$(\sin(a),\cos(a))=(\sin(b),\cos(b)) \Leftrightarrow a=b$$

würde ich noch begründen, denn aus $$\sin(a)=\sin(b)$$ (resp. Kosinus) alleine folgt im betrachteten Intervall ja noch nicht a=b. Zu surjektiv: Angenommen, ich gebe dir einen Punkt $$(x,y)\in\mathbb{R}^2,\quad x^2+y^2=1.$$ Wie lautet das dazugehörige alpha, sodass

$$f(\alpha) = (x,y)$$

ist?

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wieso folgt nicht gleich a=b im einheitskreis werde ich niemals den gleichen wert bekommen, wenn nicht die winkel gleich sind, oder?
mit dem Punkt: α wird ja abgebildet auf sin, cos also müsste alpha das tupel (sin^-1(x),cos^-1(y)) ist das so richtig?
was ist mit der Stetigkeit?

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Für die Unstetigkeit: Schau dir mal den Punkt \((0,1)\in\mathbb{S}^1\) an.

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Du setzt ja bereits voraus, dass zu jedem Punkt auf der Kreislinie genau ein Winkel gehört, aber das sollst du ja eigentlich zeigen. (Auch wenns klar ist). Also zeige einfach, dass aus

$$ cos(a) = cos (b)$$

und

$$ sin(a) = sin(b)$$

für $$a,b\in [0,2\pi)$$

folgt, dass $$a=b$$ ist.