Textaufgabe Schwimmbecken auffüllen mit Abfluss offen

Question

Habe mir schon den ganzen Tag über folgende Textaufgabe den Kopf zerbrochen:

Ein Schwimmbecken füllt sich in einer gewissen Zeit. Das Ablassen des Wassers dauert 8 Stunden länger als das Füllen. Das Becken ist leer. Jemand hat vergessen, das Becken zu verschliessen (-> fliesst also gleichzeitig was raus). Nach 30 Stunden ist das Becken voll. Wie lange dauert das Leeren, wenn der Zufluss abgestellt wird?

was ich bis jetzt herausgefunden habe:

Füllen:

x

Ablassen:

y = x+8

zwei Lösungsvarianten, aber bin mir nicht sicher, welche korrekt ist...

x+(x+8)=30

oder

unter der Annahme, dass das Becken in einer Stunde 1/30 augefüllt wird:

1/30 = 1/x - 1/(x+8)

=> nach x auflösen (ergibt meines Erachtens eine quadratische Gleichung)

die erste Variante macht für mich weniger Sinn... Falls diese Variante korrekt wäre, wäre ich um eine kurze Erläuterung des Sachverhalts sehr dankbar :-)

Gruss

Gitarre10

Answer 1

zwei Lösungsvarianten, aber bin mir nicht sicher, welche korrekt ist...

t = Zeit für den Zufluss zum kompletten Füllen
t + 8 =  Zeit für den Abfluss zum kompletten Leeren.

V / t = Zunahme des Volumens ( Zuflußgeschwindigkeit )
V / ( t + 8 ) = Abnahme des Volumens ( Abflußgeschwindigkeit )

Einmaliges Auffüllen eines leeeren Beckens bei gleichzeitigem
Zu- und Abfluß

V = [ V / t - V / ( t + 8 ) ] * 30  | : V
1 = [ 1 / t - 1 / ( t + 8 ) ] * 30   | : 30
1 / 30 = 1 / t - 1 / ( t + 8 )

t = -20 ( entfällt )
und
t = 12

Becken voll. Wie lange dauert das Leeren, wenn der Zufluss abgestellt wird?

t + 8 = 20 Stunden

Comments

Super, genau das habe ich gesucht, vielen Dank :-)

Answer 2

$$ V=f \cdot t_f $$
$$ V=l \cdot t_l $$
$$ 8h= t_l- t_f $$
$$ V=(f-l) \cdot 30h $$

Comments

vielen Dank für deine Antwort.

... Aber aus den obengenannten Angaben kann ja unmöglich das Volumen berechnet werden, da man ja nur Angaben zur Zeit hat (oder sehe ich das falsch?).

f und l sind ja nicht gegeben...

schlussendlich soll ja herausgefunden werden, wie lange das Abfliessen dauern würde, wenn der Zufluss nicht mehr läuft.

Vielen Dank für deine Antwort/ Erklärung

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richtig - das siehst Du falsch.

Die aufgestellten Gleichungen sind lediglich die Übersetzung des Textes in math. Terme bzw. Gleichungen.

Durch geschicktes Umstellen, Einsetzen oder Gleichsetzen ist es möglich, unerwünschte Variablen zu eliminieren und die gesuchten zu isolieren.

Das wäre der Lerneffekt der Aufgabenstellung gewesen ...

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noch ein Hinweis :

f : Füllgeschwindigkeit

l : Leerungsgeschwindigkeit

diese habe ich als Hilfsvariablen dazuerfunden.

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Habe es nun auch verstanden... :-)

Answer 3

Hi, ich würde hier ähnlich deinem zweiten Ansatz (der erste ist falsch) vorgehen, mit einem kleinen Unterschied: Ich bezeichne die in "Wie lange dauert das Leeren, wenn der Zufluss abgestellt wird?" gefragte Zeit mit \(x\). Dies führt auf die Kehrwertgleichung
$$ \frac { 1 } { 30 } = \frac { 1 } { x-8 } - \frac { 1 } { x } $$und weiter auf die gesuchte Leerungszeit \(x=20\) Stunden. Die beiden Seiten der Gleichung beschreiben, welcher Beckenanteil pro Stunde gefüllt wird, wenn sowohl Zulauf als auch Ablauf offen sind, greifen also unmittelbar die Daten aus der Angabe auf.

Das Einführen von Hilfsgrößen wie Geschwindigkeiten oder Volumina finde ich entbehrlich und es vereinfacht weder den Zugang, noch die Rechnung. Dennoch würde ich mich freuen, wenn jemand auf anderem Wege nachvollziehbar mein Ergebnis bestätigen könnte.

Comments

Ich denke du und user "georgborn" sind Resultat-Mässig auf dasselbe gekommen :-) und auch "pleindespoir" hat dazu die richtigen Hinweise/ Umformungen geliefert...

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Hi, mir ging es eigentlich nur um den Ansatz, der ohne Umwege über weder gegebene noch gesuchte Hilfsgrößen sehr schnell und einfach zum Ziel führt.