Zeigen Sie, dass f nicht injektiv ist. (Stetige Funktion, Injektivität)

Question

Aufgabe:

Sei \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion mit einem Maximum an der Stelle \( a \in(0,1) \).

Zeigen Sie, dass \( f \) nicht injektiv ist.

Hinweis: Schauen Sie sich Korollar \( 4.19 \) an.

Korollar 4.19. Sei \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion und \( y \in \mathbb{R} \) mit \( f(a)< \) \( y<f(b)(b z w . f(a)>y>f(b)) . \) Dann existiert ein \( c \in(a, b) \) mit \( f(c)=y . \)

Comments

Das a teilt [0,1] in zwei Intervalle. Zeige mit dem Korollar das es in beiden Teilintervallen jeweils mindestens eine Stelle geben muss an der die Funktion denselben Funktionswert annimmt.

Answer 1

Dafür reicht ein Beispiel, das heißt zwei verschiedene Punkte mit gleichem Bild. Da der Funktion eine quadratische Gleichung entspricht, ist es naheliegend, dass man zwei Lösungen finden sollte. Die Frage ist: was ist dein Definitionsbereich? Im Intervall [0,1] ist die Funktion nämlich injektiv.

Comments

In der Aufgabe steht "Sei f : [0, 1] → R eine stetige Funktion mit einem Maximum an der Stelle a e (0, 1). Zeigen Sie, dass f nicht injektiv ist."

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Wie soll man da ein x finden , sodass zweimal das gleiche y rauskommt?

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Die Funktion besitzt in dem Intervall (0,1) auch kein Maximum. Vielleicht hast du sie falsch abgetippt?

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Die erste Funktion gehört anscheinend nicht zur Aufgabenstellung.

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Habe ich auch eben geschrieben, aber irgendwie ists weg.
Also wenn du eine stetige Funktion
$$ f: [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$$ hast, die in (a,b) ein Maximum hat, kann sie nicht streng monoton und daher nicht injektiv sein.
Auf deine eingangs gepostete Funktion trifft das nicht zu, die hat auf keinem Intervall (a,b) ein Maximum. Gehört vielleicht zur Aufgabe davor.