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Aufgabe:

Zerlege das Fünfeck möglichst geschickt in einfach zu berechnende Teilflächen.

a) Berechne den Flächeninhalt des gesamten Fünfecks.

b) Vergleiche die Fläche des Sterns mit der Fläche des Fünfecks.

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bezeichne die Kantenlänge des vermutlich regelmäßigen Fünfecks mit \(s\). Offenbar besteht das Fünfeck aus fünf kongruenten gleichschenkligen Dreiecken mit der Basis \(s\) und den Basiswinkeln \(\varphi=\frac{3\pi}{10}\). Der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks berechnet sich zu \(A_\triangle=\frac{s^2}4\tan\varphi\). Bekanntlich ist \(\tan\frac{3\pi}{10}=\frac15\sqrt{25+10\sqrt5}\). Für die Fläche des Fünfecks gilt demnach$$A=5\cdot A_\triangle=\frac{s^2}4\sqrt{25+10\sqrt5}.$$
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Ach so! Dankeschön :) Also doch sehr allgemein gehalten! Und bei b) wird das mit dem Stern dann exakt genauso gemacht? Wie lautet denn da die allgemeine Formel?

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