bezeichne die Kantenlänge des vermutlich regelmäßigen Fünfecks mit \(s\). Offenbar besteht das Fünfeck aus fünf kongruenten gleichschenkligen Dreiecken mit der Basis \(s\) und den Basiswinkeln \(\varphi=\frac{3\pi}{10}\). Der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks berechnet sich zu \(A_\triangle=\frac{s^2}4\tan\varphi\). Bekanntlich ist \(\tan\frac{3\pi}{10}=\frac15\sqrt{25+10\sqrt5}\). Für die Fläche des Fünfecks gilt demnach$$A=5\cdot A_\triangle=\frac{s^2}4\sqrt{25+10\sqrt5}.$$
