e-Funktion ( Integrieren, Ableiten, Nullstellen )

Question

Kann mir jemand folgende Funktion

f (x)= 2•(1-x)•e*1/3x

schrittweise auf- und ableiten? Außerdem  habe ich Probleme x der Nullstellen zu berechnen. Bitte helft.

Ich schreibe morgen eine Mathe Klausur und verstehe auch alles, bis auf diese Funktion, die wir zur Übung bekommen haben.

Ich hoffe jemand kann mir meine Verwirrung nehmen.

DANKE SCHON EINMAL FÜR JEDE MÜHE

Answer 1

Allgemein
[ e^term ] ´ = e^term * ( term ´ )

f (x)= 2•(1-x)•e*1/3x 
Konstantenregel und Produktregel

f (x)= 2 • [ (-1) •e*(1/3*x) + ( 1 - x ) * e^{1/3*x} * 1/3 ]
f (x)= 2 • e^{1/3*x} * [ (-1)  + ( 1 - x ) * 1/3 ]
f (x)= 2 • e^{1/3*x} * [ -1  + 1/3  - 1/3*x ]
f  ( x ) = 2 • e^{1/3*x} * [  -2/3  - 1/3*x ]

Soviel zum ableiten.
Aufleiten kommt in Teil 2

Comments

Die Nullstellen zuerst noch

f (x)= 2•(1-x)•e*1/3x

Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens 1 der Faktoren 0 ist.

2 ist positiv
Die e-Funktion ist immer > 0
also bleibt
( 1 - x ) = 0
x = 1
Nullstelle
( 1  | 0 )

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Das Integrieren der gesamtem Funktion ist etwas schwierig,
hier zunächst einmal einen Teil.
Wir suchen zunächst die Aufleitung / Stammfunktion von
e^{1/3*x}

Eine e-Funktion kann nur aus einer e-Funktion abgeleitet
worden sein.
Deshalb versuche ich probeweise

( e^{1/3*x} ) ´ =   e^{1/3*x} * 1/3
Sieht schon ganz gut aus aber das 1/3 stört
denn wir wollen ja nur e^{1/3*x}. als Ableitung.
Also die Gegenoperation : 1/3 * 3 = 1 anwenden
( 3 * e^{1/3*x} ) ´ =   3 * e^{1/3*x} * 1/3 = e^{1/3*x}
Also ist
∫ e^{1/3*x}  dx = 3 * e^{1/3*x}

Soviel zunächst.

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Vielen lieben dank erstmal. Das Aufleiten war jetzt einleuchtend. :)

Dass die e- Fkt. immer 0 ist, sollte man vielleicht wissen. Ich habe mich zu Tode gerechnet. Danke

Den Anfang vom Integrieren hatte ich auch so und mit dem Rest kam ich nicht klar oder wir haben eine falsche Lösung bekommen.  Mal schauen.

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Die angegebene Lösung stimmt.
Die Richtigekit einer Aufleitung kann man dadurch
überprüfen indem man probeweise ableitet.

Ob ich die Erklärung der Aufleitung der Gesamtfunktion
hinbekomme muß ich einmal sehen.

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Okay, ich habe es selbst nicht überprüft gehabt, aber darauf kommen, das ist dann die andere sache.

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Hier meine grundsätzlichen Überlegungen
Die 2 habe ich fortgelassen.
Da ein minus zwischen den Summanden steht kann
das Integral  aufgeteilt und getrennt integriert werden.

Das 1.Integral kennen wir.
Den Term des 2.Integrals leiten wir probeweise einmal ab.

Schon für
( -3 * x * e^1/3*x ) ´ erhalten wir als 2.Summanden den gewünschten Term.
Jetzt gilt es noch das -3*e^{x/3} wegzubekommen.
Das geht durch Einführung eines Zusatzterms

Ich will jetzt aber fernsehen.

Mein Tip :
Verbeiß dich jetzt nicht mehr in diese Aufgabe.
Du hast hoffentllch schon eine Menge hinzugelernt.

Bei deiner Klausur können ganz andere Aufgaben kommen.

mfg Georg

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Hier meine Berechnungen

1.Abschnitt die zu bildenenden Integrale
2.Abschnitt die Stammfunktionen
+ 9*e^{x/3} ist der Zusatzterm
3.Abschnitt : Zusammenfassung
4. Abschnitt : Ausklammerung von e^{x/3}

Da ich zu ganz Anfang die 2 nicht berücksichtigt habe
kommt diese wieder hinzu : * 2

Damit hätten wir die angegebene Lösung

Vielleicht lohnt es sich den 2.Abschnitt einmal abzuleiten
und zusammenzufassen.