Kurvendiskussion Graphen skizzieren

Question

Die Funktionsschar lautet f_t(x)=x³-3tx² 

a.)der Graphen für t=1 und t=1, 2  soll skizziert werden

b.)Welche Kurve der Schar geht durch den Punkt P(3/9)

c.)wie bestimmt und skizziert man die Ortskurve des Tiefpunktes

Wäre über jede Hilfe dankbar

Answer 1

Die Funktionsschar lautet f_t(x)=x³-3tx² 

a.)der Graphen für t=1 und t=1, 2  soll skizziert werden

f1 ( x ) = x^3 - 3 * 1 * x^2
f2 ( x ) = x^3 - 3 * 1.2 * x^2 

Mit Hilfe des hier angebauten Plotters geht dies ganz fix.

Zu Fuß mit Wertetabelle usw.

~plot~ x^3 - 3 * 1 * x^2  ; x^3 - 3 * 1.2 * x^2  ~plot~

Comments

b.) Welche Kurve der Schar geht durch den Punkt P(3/9) 

f ( x ) = x^3 - 3 * t * x^2
f ( 3 ) = 3^3 - 3 * t * 3^2 = 9

3^3 - 3 * t * 3^2 = 9
27 * t = 18
t = 2 / 3

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c.)wie bestimmt und skizziert man die Ortskurve des Tiefpunktes

f ´( x ) = 3 * x^2 - 3 * t * 2 * x
f ´( x ) = 3 * x^2 - 6 * t * x

3 * x^2 - 6 * t * x = 0
x * ( 3 * x - 6 * t )  = 0
x = 0
und
3 * x - 6 * t = 0
x = 2 * t

Hoch- oder Tiefpunkte ?
f ´´ ( x ) = 6 * x - 6 * t
f ´´( 0 ) = - 6 * t
Falls t > 0 dann ist -6 * t negativ, also ein Hochpunkt
Falls t < 0 dann ist -6 * t positiv, also ein Tiefpunkt

Das heißt die Extrempunkte können sowohl Tief- als auch Hochpunkte sein.

Falls x = 0 dann ist der Extrempunkt für alle t bei bei ( 0 | 0 ).
Also unveränderlich. Siehe Graph. Es gibt keine Ortskurve.

Für x = 2 * t wäre der Funktionswert des Extrempunkts

f ( 2 * t ) = ( 2 * t )^3 - 3 * t * ( 2 * t)^2
f ( 2 * t ) = 8 * t ^3 - 12 * t^3 = - 4 * t^3

( 2 * t | -4 * t^3 )
x = 2 * t
t = x/2
y = -4 * t^3
y = -4 * (x/2)^3
ort ( x ) = - 1/2 * x^3

~plot~ x^3 - 3 * x^2 ; x^3 - 3 * 1.2 * x^2 ; -(1/2) * x^3 ~plot~